专题七数学思想方法第一讲函数与方程思想一、选择题1．已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，则实数λ等于()A．1或2B．2或－C．2D．0解析：λa＋b＝(3λ－6,2λ＋1)，a－λb＝(3＋6λ，2－λ)，若(λa＋b)⊥(a－λb)，则(3λ－6)·(3＋6λ)＋(2λ＋1)(2－λ)＝0，解得λ＝2或λ＝－答案：B2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A．[∞，＋)B．[2，＋∞)C．(0,2]D．[－，－1]∪[，]答案：A3．f(x)是定义在(0∞，＋)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若a
a>0，f(x)≥0，∴bf(a)≥af(a)且bf(b)≥af(b)，∴bf(a)≥af(a)≥bf(b)≥af(b)，∴bf(a)≥af(b)．答案：C4．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，f(2)＝0，则函数y＝f(x)在区间(－1,4)内的零点个数为()A．2B．3C．4D．5解析： f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.由f(2)＝0，得f(－2)＝0.又 f(x)的周期为3，∴f(1)＝0，f(3)＝0.又 f＝f＝f＝－f，∴f＝0.故选D.答案：D5．已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是()A．13C．13解析：将f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.当a∈[－1,1]时恒有g(a)>0，只需满足条件即，解之得x<1或x>3.答案：B二、填空题6．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0≥求得2≤或－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：47．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x)＝(2－2－|x－2|)2，要使f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)的值域内的值． f(x)的值域为[1,4)∴1≤a＋2<4，∴－1≤a<2.答案：[－1,2)8．已知函数f(x)＝，a∈R，若方程f2(x)－f(x)＝0共有7个实数根，则a＝________.解析：设y＝t2－t，t＝f(x)作出两函数的图象如图所示，由t2－t＝0知t＝0，或t＝1，当t＝0时，方程有两个实根；当t＝1时，要使此时方程有5个不同实根，则a＝1.答案：19．若数列{an}的通项公式为an＝×n－3×n＋n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝________.解析：令x＝n，则01)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值．解：依题意可设P(0,1)，Q(x，y)，则|PQ|＝.又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2)．|PQ|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2＝(1－a2)2－＋1＋a2，因为|y|≤1，a>1，若a≥≤，则1，当y＝时，|PQ|取最大值；若1
