高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题一 第三讲 导数及应用 理VIP免费

第三讲导数及应用一、选择题1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()答案：D2．(·江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．4B．－C．2D．－解析：依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.答案：A3．(·江西)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215解析：函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案：C4．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1∞，＋)上是减函数，则b的取值范围是()A．[－1∞，＋)B．(－1∞，＋)C．(∞－，－1]D．(∞－，－1)解析：由题意知f′(x)＝－x≤＋0，x∈(－1∞，＋)，即f′(x)≤＝0，即－x2－2x＋b＝－(x＋1)2＋1＋b≤0.∴1＋b≤0，b≤－1.答案：C5．(·天津理)设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则方程f(x)＝0()A．在区间，(1，e)内均有实根B．在区间，(1，e)内均无实根C．在区间内有实根，在区间(1，e)内无实根D．在区间内无实根，在区间(1，e)内有实根解析：因为f′(x)＝－，令f′(x)＝0，则x＝3.当x∈(0,3)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,3)上单调递减．因为f·f(1)＝·＝>0，因此f(x)在内无零点．又f(1)·f(e)＝·＝<0.因此f(x)在(1，e)内有零点．答案：D二、填空题6．若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________．切线的斜率为________．解析：y′＝ex，设切点的坐标为(x0，y0)则＝ex0，即＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.答案：(1，e)e7．(·苏北四市联考)已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f＝________.解析：由已知，得f′(x)＝f′cosx－sinx.则f′＝－1，因此f(x)＝－sinx＋cosx，f＝0.答案：08．(·福建理)若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析： f′(x)＝5ax4＋，x∈(0∞，＋)，∴由题知5ax4＋＝0在(0∞，＋)上有解．即a＝－在(0∞，＋)上有解． x∈(0∞，＋)，∴－∈(∞－，0)．∴a∈(∞－，0)．答案：(∞－，0)9．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝________.解析：由题可设f(x)＝x2－9x＋c(c∈R)，又f(0)的值为整数，即c为整数，∴f(n)＝n2－9n＋c为整数，f(n＋1)＝(n＋1)2－9(n＋1)＋c＝n2－7n＋c－8为整数，又x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，∴n2－7n＋c－8＝n2－9n＋c，即n＝4.答案：4三、解答题10．(·江西)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．解：函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．(2)当x∈(0,1]时f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.11．(·课标全国)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1，当x∈(∞－，0)时，f′(x)<0；当x∈(0∞，＋)时，f′(x)>0.故f(x)在(∞－，0)单调减少，在(0∞，＋)单调增加．(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)．从而当a>时，f′(x)0，b>0，证明：φ′≤≤...