【创新设计】-学年高中数学7.2.2两条直线的位置关系活页训练湘教版必修31．过点(－3,2)且与直线2x－y＋5＝0垂直的直线方程为()．A．x＋2y＋1＝0B．x＋2y－1＝0C．x－2y＋1＝0D．－2y－1＝0解析直线与2x－y＋5＝0垂直，所以所求直线的法向量为(1,2)，其方程可设为x＋2y＋C＝0，将(－3,2)代入得－3＋4＋C＝0，C＝－1，即所求方程为x＋2y－1＝0.答案B2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为()．A．－6B．6C．－D.解析若两直线平行，则＝≠－.解得a＝6.答案B3．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a为()．A．－1B．1C．±1D．－解析若两直线互相垂直，则(a＋2)·(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，∴(a－1)(－a－1)＝0，∴a＝±1.答案C4．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0互相垂直，则k＝________.解析两直线的法向量分别为n1＝(2,3)，n2＝(1，－k)，若两直线垂直，则n1·n2＝2－3k＝0，∴k＝.答案5．若直线l1：x＋y＝0与直线l2：ax－y＋1＝0的夹角为60°，则a＝________.解析两直线的法向量分别为n1＝(，1)，n2＝(a，－1)，则由已知得＝cos60°＝.解得a＝0或a＝.答案0或6．求经过直线x＋2y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线2x－y＋3＝0平行的直线l的方程．解由方程组得∵直线l与直线2x－y＋3＝0平行，∴可设l为2x－y＋C＝0.∵l过点(－5,3)，∴2×(－5)－3＋C＝0，解得C＝13.∴直线l的方程为2x－y＋13＝0.7．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为()．A．－3，－4B．3,4C．4,3D．－4，－3解析由方程组，得交点B(1,2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0①，又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，所以－＝－②，≠③.由①②③，得a＝3，b＝4.答案B8．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们夹角的余弦值为()．A.B．－C.D.解析两直线的法向量分别为n1＝(3,4)，n2＝(3,5)，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.答案A9．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a＝________.解析直线l1的方向向量n1＝(a－5，－3－a)，直线l2的方向向量n2＝(－3，a－5)．若l1⊥l2，则n1·n2＝0，即－3(a－5)－(3＋a)(a－5)＝0∴a＝5或a＝－6.答案－6或510．若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a应满足的条件是________．解析解方程组得即两直线的交点坐标为(－3,2)，依题意知，实数a满足的条件为解得即实数a满足的条件为a∈R，且a≠且a≠3且a≠－6.答案a∈R且a≠且a≠3且a≠－611．已知两直线l1：x＋(1＋m)y＝m－2，l2：2mx＋4y＝16，求当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直．解直线l1和l2的法向量分别为n1＝(1,1＋m)，n2＝(2m,4)．(1)若两直线相交，则n1与n2不平行，∴4－2m(1＋m)≠0，解得，m≠－2且m≠1.(2)若两直线平行，则＝≠，解得m＝1.(3)若两直线重合，则＝＝，解得m＝－2.(4)若两直线垂直，则n1⊥n2，∴2m＋4(1＋m)＝0，∴m＝－.综上所述，当m≠－2且m≠1时，l1与l2相交；当m＝1时，l1与l2平行；当m＝－2时l1与l2重合；当m＝－时l1与l2垂直．12．(创新拓展)如图(1)所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5m，宽AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？图(1)图(2)解如图(2)以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．由AD＝5，AB＝3，可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．设点M(x,0)，则AC＝(5，－3)，DM＝(x－5，－3)．因为AC⊥DM，则AC·DM＝0，即(5，－3)·(x－5，－3)＝0,5(x－5)＋9＝0，解得x＝，即BM＝m.即当BM＝m时，两条小路AC与DM相互垂直.
