第2课时圆周角定理与圆的切线一、填空题1．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R＝________.解析：依题意，知△PBA∽△PAC，∴＝.∴AC＝＝＝2，∴半径R＝＝.答案：2．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3.过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________.解析：连结OC，则OC∥AD，CB＝OB＝OC，∴∠COB＝∠EAO＝60°，∠CAO＝30°，∴∠DAC＝30°.答案：30°3．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO＝________.解析：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO.故AC平分∠DAB，∴∠CAO＝40°，又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.答案：40°4．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A＝________.解析：连结OB、OC、AC，如图，根据弦切角定理，可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.答案：99°5.如图所示，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，若BC＝6，AC＝8，则AE＝________，AD＝________.解析：∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，设半径为r，则＝.∴r＝，∴AE＝10－2r＝，AD2＝×10＝25.∴AD＝5.答案：56．如图所示，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，则PC＝________.解析：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵∠CPA＝30°，OC＝AB＝3，∴tan30°＝，∴PC＝3.答案：37．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50°，则∠ACB＝________.解析：如图所示，连接OA、OB，因为PA、PB是⊙O的切线，所以∠OBP＝∠OAP＝90°，因为∠P＝50°，所以∠AOB＝130°，所以∠ACB＝65°.答案：65°二、解答题8．(南通市调研)如图所示，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.证明：连接AD，因为AB为圆O的直径，所以∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆，所以∠DEA＝∠DFA.9．(苏北四市高三第三次联考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB2＝BE·CD.证明：连接AC，∵AB＝AD，∴∠ACB＝∠ACD，AB＝AD，又AE为⊙O的切线，∴∠EAB＝∠ACB，∴∠EAB＝∠ACD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABE＝∠ADC，∴△ADC∽△EBA，∴＝，∴AB2＝BE·CD.10．(南京市高三期末调研)如图所示，P是⊙O外一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，求∠P的度数．解：连接OD，由切割线定理得PD2＝PE·PF.又因为PF＝12，PD＝4，所以PE＝4.所以EF＝PF－PE＝8，OE＝OF＝OD＝4.因为PD为切线，D为切点，所以OD⊥PD.在Rt△ODP中，因为OD＝4，PD＝4，所以tan∠P＝＝，所以∠P＝30°.1．如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，DE⊥AB于E，交AC于M，BD交AC于N.求证：AM＝MN.证明：AD⊥BD，QD是AC的中点，∴∠DAC＝∠ABD，从而∠DAC＝∠ADE，∴AM＝DM，又∠DNM＝∠DAE＝∠BDE，∴DM＝MN，∴AM＝MN.2．如图所示，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，求PA的长．解：连结OC、OP.∵C为半圆弧的三等分点，∴∠BOC＝.∵PC、PB是半⊙O的切线，∴PC＝PB.又OB＝OC，PO＝PO，∴△OBP≌△OCP，∠POB＝∠POC＝.∵OB＝a，∴PB＝a，∴PA＝＝a.
