《二次函数的图象》典型例题2VIP专享VIP免费

《二次函数y=ax^2+bx+c的图像》典型例题例1函数与在同一坐标系中的图像可能是如图中的（）例2已知函数.（1）求函数图像的顶点坐标和对称轴；（2）求函数图像与坐标轴的交点坐标；（3）作出函数的图像.例3求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．例4已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切．(1)求二次函数的解析式；(2)当x在什么范围时，y随x的增大而增大；(3)当x在什么范围时，y随x的增大而减小．例5设抛物线y=x2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后，所得抛物线的顶点坐标为(-2，0)，求原抛物线的解析式．例6(辽宁省试题,2002)看图，解答下列问题。（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象。1/62/6参考答案例1解法一：直接法，∴a的取值只有两种可能：或.当时，有的图像在第一、三象限；的图像开口向上，顶点在x轴的上方，四个选择支无一适合.所以，没有符合条件的图像.当时，有的图像在第二、四象限；的图像开口向下，顶点在x轴的下方，符合条件的图像有D.故应选D.解法二：排除法，函数的图像顶点在y轴上，故排除A；对于B，由反比例函数的图像可知：，但由的图像得，产生矛盾，故B排除；对于C，由反比例函数的图像可知：，但由的图像与y轴交于负半轴得，产生矛盾，故C排除.故答案应选D.例2解：（1）.∴函数图像的顶点坐标是（1，2），对称轴为.（2）令，得；令，由，得.即函数图像与y轴交于点，与x轴交于（－1，0），（3，0）.（3），抛物线开口向下，再依顶点坐标，对称轴及两坐标的交点坐标作函数图像如图所示.说明：（1）对的顶点坐标也可直接用教材中例题所给出的顶点坐标公式，这里是直接配方而得.3/6（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴及两轴的交点等主要环节.例3分析：因为抛物线的对称轴与y轴平行，所以抛物线解析式的形式可设为y=ax2+bx+c，要确定这个解析式必须求出三个系数a、b、c的值．已知A、B、C三点在抛物线上，因此它们的坐标必须适合上面的函数式，即有这是关于a、b、c的三元一次方程组，可以求出a、b、c的值来．解：设所求抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，因为抛物线经过A、B、C三点，所以有所以，所求抛物线的解析式为y=x2-2x-1．例4分析：因为抛物线与x轴相切即与x轴只有一个交点，所以判别式b2-4ac=0．又由于抛物线过(-1，1)和(2，1)点，所以可设解析式的形式为y=ax2＋bx＋c，列出方程组解方程组求出a、b、c．方法二：由于抛物线经过的两点（-1，1）和（2，1）的纵坐标都是1，又根据抛物线的对称性知道对称轴，画出草图：4/6可得顶点坐标系，可以设解析式为将x=-1，y=1代入上式得出a值．(可由教师板演，学生在练习本上写出解题过程)．解：（1）∵顶点坐标，∴将代入此式1=，得所求解析式为。（2），图象开口向上当时，随的增大而增大。（3）当时，随的增大而减小。例5解：由题意知两次平移后所得抛物线的解析式应为：y=(x+5)2+b(x+5)+c-1=x2+(b+10)x+(5b+c+24)．0=(-2)2+(b+10)×(-2)+(5b+c+24)．解之得b=-6，c=10．原抛物线的解析式为y=x2-6x+10．5/6说明：关于二次函数图象的平移是很重要的：一是上、下平移，如将y=ax2+bx+c的图象上移h个单位，则新图象的解析式为y=ax2+bx+c+h(如下移则改为-h)．二是左右平移，如将y=ax2+bx+c的图象向左移k个单位，则新图象解析式应改写为：y=a(x+k)2+b(x+k)+c，如果是向右平移k个单位，则改写为y=a(x-k)2+b(x-k)+c．分析：已知三点求抛物线的解析式，用待定系数法求解，先设出抛物线的解析式（一般式），然后把三点坐标代入解析式，列出一个关于三个未知数的方程组，求解即可。例6解：（1）由图可知设所求抛物线的解析式为依题意，得解得∴（2）∴顶点坐标为，对称轴为（3）图象略，画出正确图象。说明：求二次函数解析式的问题，通常用待定系数法求解。首先要根据题目已知条件，选择抛物线解析式的适当形式，然后列出方程组求解。6/6