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第15章傅里叶级数§15.1傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中1()nnnfxax，可视为()fx经函数系线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}nxxxLL为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．1三角函数系函数列1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,xxxxnxnxLL称为三角函数系．其有下面两个重要性质．(1)周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2)正交性任意两个不同函数的积在[,]上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在[,]可积的函数系()[,],1,2,nuxxabn:L，定义两个函数的内积为(),()()()dbnmnmauxuxuxuxx，如果0(),()0nmlmnuxuxmn，则称函数系()[,],1,2,nuxxabn:L为正交系．由于1,sin1sind1cosd0nxnxxnxx；sin,sinsinsind0mnmxnxmxnxxmn；cos,coscoscosd0mnmxnxmxnxxmn；sin,cossincosd0mxnxmxnxx；21,11d2x，所以三角函数系在,上具有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数称为三角级数，其中011,,,,,,nnaababLL为常数2以2为周期的傅里叶级数定义1设函数()fx在,上可积，11(),cos()cosdkafxkxfxkxx0,1,2,kL；11(),sin()sindkbfxkxfxkxx1,2,kL，称为函数()fx的傅里叶系数，而三角级数称为()fx的傅里叶级数，记作()fx～01cossin2nnnaanxbnx．这里之所以不用等号，是因为函数()fx按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()fx．二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2为周期的函数()fx在[,]上按段光滑，则01(0)(0)cossin22nnnafxfxanxbnx，其中,nnab为()fx的傅里叶系数．定义2如果()[,]fxCab，则称()fx在[,]ab上光滑．若[,),(0),(0)xabfxfx存在；(,],(0)xabfx，(0)fx存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()fx在[,]ab上按段光滑．几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．推论如果()fx是以2为周期的连续函数，且在[,]上按段光滑，则xR，有01()cossin2nnnafxanxbnx．定义3设()fx在(,]上有定义，函数称()fx为的周期延拓．二习题解答1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1)(),(i),(ii)02fxxxx；解：(i)、()fx=x，(,)x作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得011()dd0afxxxx．当1n时，11cosdd(sin)naxnxxxnxn11sinsind0|xnxnxxnn，xyO角点1112coscosd(1)|nxnxnxxnnn，所以11sin()2(1)nnnxfxn，(,)x为所求．(ii)、()fx=x，(0,2)x作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得2200011()dd2afxxxx．当1n时，220011sinsind0|xnxnxxnn，2200112coscosd|xnxnxxnnn，所以1sin()2nnxfxn，(0,2)x为所求．(2)2()(i)(ii)02fx=x,-π