第10页共1页恒成立问题与零点问题知识回顾1.函数的极值函数f(x)在点X附近有定义，如果对X附近的所有点都有f(x)f(X),则称f(X)是函数极大值0000的一个极小值，记作儿雪才(x)•极大值与极小值统称为极值，称X为极值点.极小值002.求函数的极值的三个基本步骤1)求导数f'(x)；2)求方程f'(x)=0的所有实数根；3)检验f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号，如果是左正右负(左负右正)，则f(x)在这个根处取得极大(小)值.3.求函数最值1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值；2)将极值与区间端点函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.知识讲解一、不等式的恒成立问题若xeD,f(x)>m在D上恒成立，等价于f(X)在D上的最小值f(X)>m成立.min若xeD,f(x)g(x)成立，等价于构造F(x)=f(x)-g(x)，F(x)>0min对任意X,xeD，都有f(x)m在D上能成立,等价于f(x)在D上的最大值f(x)>m成立.max若存在XeD,使得f(x)g(x)成立，等价于构造F(x)=f(x)-g(x),F(x)>0•max若在x,xeD，至少存在一个x,x使得f(x)g(x)成立，等价于f(x)在D上的最小值1212f(x)>g(x)在E上的最小值.minmin(I)当a二0时，求曲线y二f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(II)求函数f(x)的单调区间；(III)当a=\时，函数f(x)在(0,2］上的最大值为M，若存在xe［1,2］，使得g(x)>M4成立，求实数b的取值范围［例】f(x)二xInx,g(x)二一x2+ax-3.(I)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值；(II)对一切xG(0,+s),2f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围.第10页共3页ax2+x+a【例】(2013门头沟一模理)已知函数f(x)=.ex(I)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1二0平行，求a的值;(II)当xG[0,2]时，f(x)＞丄恒成立，求a的取值范围.e2第10页共4页【例】(2010崇文一模文理)已知f(x)=x3-6ax2+9a2x(aeR).(I)求函数f(x)的单调递减区间；(II)当a>0时，若对任意xe[0,3]有f(x)W4恒成立，求实数a的取值范围.个实数x0,使第10页共5页【例】(顺义区届高三尖子生综合素质展示)已知a>0,函数f(x)二3a2x3-ax2+3,g(x)二一ax+1,xeR.(I)当a=1时,求函数f(x)在点(1,f(1))的切线方程；1(ii)求函数f(x)在［-1,1］的极值；(iii)若在区间(0迈］上至少存在f(x)>g(x)成立，求正实数a的取值范围.00•・・第10页共6页一一一b一一一【例】(丰台高三期末理)设函数f(x)二x-aInx+—在x=1处取得极值.x(I)求a与—满足的关系式；(II)若a>1，求函数f(x)的单调区间；1(III)若a>3,函数g(x)二a2x2+3,若存在,m?G［㊁⑵,使得|f(m)一g(m^成立，求a的取值范围.第10页共7页【例】(海淀一模理)已知函数f(X)二x—aInx,g(x)=-1+a,(aeR).X(I)若a=1，求函数f(x)的极值；(II)设函数h(x)=f(x)—g(x),求函数h(x)的单调区间；(III)若在11，］(e=2.718...)上存在一点x,使得f(x)(I)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；(II)求f(x)的单调区间；(III)设g(x)=x2-2x,若对任意xG(0,2],均存在xG(0,2],使得f(x)
