优美的对称问题讲师：徐敬才知识要点中心对称轴对称xyOPPMxyOAMA①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．典题剖析解法二：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋C|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.解法三：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.【解析】解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上．易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.【小结】解法一依据两点确定一条直线的理论，将直线关于点对称的问题转化为点关于点对称来解决，实现了由难到易的转化，是一种很重要的转化思想；解法二从研究图形的形状入手，找到了直线关于点对称的直线的方向和位置，从而求得直线方程，这是数形结合的典型应用；解法三是解析几何中求动点轨迹的重要方法，相关点法（代入法）.其一般步骤为：设出动点坐标和与其相关的点的坐标；根据题意找到两点间的等量关系，并把相关点坐标用动点坐标表示；代入相关点所在的直线（曲线）方程，整理得所求直线（曲线）方程.例题2．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程．【小结】光的反射问题的实质是直线关于直线对称，解决此类问题的方法是把直线关于直线对称的问题转化为点关于直线对称.而求一个点关于直线的对称点时，要根据垂直和平分这两个几何关系列出两个相对称的点的坐标之间的方程，进而求得对称点坐标.特别地，对于对称轴方程为x=m时，P(a，b)的对称点坐标为(2m-a，b)；对称轴方程为y=n时，P(a，b)的对称点坐标为(a，2n-b)；对于对称轴方程为x±y+C=0时，P(a，b)的对称点坐标为(∓b-C，∓(a+C))．记住这些结论，在解相关的选择、填空题时，就可快速准确作答.例题3．（1）在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；（2）在直线l：3x-y-1=0上求一点Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.（2）设C关于l的对称点为C′（a，b)，由CC′⊥l得a+3b-15=0①，又CC′的中点在l上，得3a-b+3=0②，由①②得C′324(,)55；可得AC′：19x+17y-93=0，与直线l方程联立得Q1126(,)77.OABxyPB′OACxyC′Q【解析】（1）设B关于l的对称点为B′(a，b)，由BB′⊥l得a+3b-12=0①，又BB′的中点在l上，得3a-b-6=0②，由①②得B′（3，3)；可得AB′:2x+y-9=0，与直线l方程联立得P(2，5).技巧传播在求直线关于点或直线对称的直线方程时，要注意数和形的结合，若根据图形发现对称的两条直线平行，即可用点到直线的距离公式或两条平行线间的距离公式直接求解，否则就在直线上取点转化为点的对称问题求解.解析几何部分中心对称和轴对称的核心都是点的对称问题，点关于点对称的实质是中点坐标公式的应用；点关于直线的对称点要根据垂直和平分两个几何量列出方程组求得.
