最短路线问题章飞大家一定记得，教科书上有这样一个问题：一条河流的两边有A，B两个村庄，现准备在河上建一座桥（当然，桥应与河岸垂直，这样可以减少造价），问桥应建在何处才能使由A到B的路程最短?作出图形，并说明理由．探索如果没有可行的思路，不妨在同一个图上随便画几个方案，观察并比较这些方案各自路程的长短，也不难估计出一个大致的位置。如图，通过测量不难发现，在C2D2位置桥建比在C1D1位置建桥，路程短一些。实际工作中对精确度要求不高时，这倒也不失是一种方法。但一点点的误差，也会造成实际问题中的巨大浪费，因此，我们更希望得到一个精确的结果。到底桥应建在什么地方呢？我们还是回到上面两个方案的比较。不管哪个方案中，路程都包括3个部分，AC，CD，DB，可以发现所有的CD都是相等的（等于河流的宽），因此，只要考虑AC+DB取得最小值就可以了。可是，这两段线段分散着，能否将它们集中到一起呢？在前面的讲解中我们遇到过这样的问题，平移使得C，D重合就可以了，得到下面左图。在左图中更容易看出：在C2D2位置桥建，路程短一些。而要使得AC+DB最小，也不难发现，C，D应与A，B共线。把这个过程反过来，就得到了具体的方案设计思路，如下中图。拓展1如果A，B两个村庄中间有两条平行的河流（如上右图），准备在两条河上各建一座桥（桥仍然与河岸垂直），那么，要使由A到B的路程最短，两座桥又应建在何处呢？两座桥，问题当然变复杂了，画图发现需要计算5条线段的长度和，当然其中有两条长度是固定的，我们也可以暂时不考虑这两条线段，通过平移，将其他三条线段集中起来，不难类似地得到下面的草图，只要A1，D，E，B1四点共线即可。拓展2如果A，B两个村庄中间有两条不平行的河流，两座桥又应建在何处呢？有了拓展1，不难得到拓展2的解答：如图，将点A沿与甲河河岸垂直的方向向下平移与甲河河宽相等的距离，得点A′；将点B沿与乙河河岸垂直的方向向上平移与乙河河宽相等的距离，得点B′；连接A′，B′，分别交甲河、乙河于M点，PB'BAABC1D1C2D2ABNMQPB'A'ABABC1D1C2D2ABB1A1CDEF点，MN，PQ即为所建桥．小结最短路问题的实质是，把路径中的固定部分（桥的长度）用平移的方法去除掉，再利用两点之间线段最短来解决。
