初中数学分类讨论题型初探(已发表)VIP专享VIP免费

中考复习中分类讨论题型初探上海市平乐中学庄士忠200540整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。综合中考的复习规律，我觉得分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。例题1．求函数的图象与x轴的交点？点拔：二次项系数中含有参数k，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对分类讨论.解：（1）当时，即时，此函数为，故其与x轴只有一个交点（1，0）（2）当时，此函数为二次函数，.①当时，Δ＝0.抛物线与x轴的交点只有一个.，交点坐标为（1，0）②当时，Δ＞0，函数与x轴有两个不同的交点..综合所述：当或时，函数图像与x轴只有一个交点（1，0）；当且时，函数图像与x轴有两个不同交点.变式思考：已知关于x的方程（1）若方程有实数根，求k的取值范围（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长.易误：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC的腰，故应考虑其所有可能情况.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.例题2、如图（1）边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数的图像随的不同取值变化时，位于的右下方由和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）.（1）当取何值时，S＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与的函数图像.点拔：设与正方形ABCD的交点为M，N，易知ΔDMN是等腰RtΔ，只有当MD＝时，，那么，此时求得，第（2）问中，随着的变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论在不同取值时S的表达式，进而作出图像.解：（1）设与正方形ABCD的交点为M，N， 的解析式，在x轴，y轴上所截线段相等.∴ΔDMN为等腰RtΔDMN S＝3，∴又 ∴MD＝ND＝，∴ON＝OD－DM＝4－，即D点的坐标为（0，4－）∴，即当时，S＝3.（2） 直线与轴的交点M的坐标为∴当0≤t＜2时，当2≤t＜4时，当t≥4时，S＝4根据以上解析式，作图如下图（图2）变式思考：如图所示，在平行四边形ABCD中，，∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.易误：讨论变量的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.例题3、在ΔABC中，...