直线的交点坐标与距离公式讲师：徐敬才知识要点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组11122200AxByCAxByC的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．两条直线的交点（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝221212()()xxyy.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.三种距离公式典题剖析例题1．（上海理）已知111(,)Pab与222()Pab，是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组112211axbyaxby的解的情况是（）（A）无论k，1P，2P如何，总是无解（B）无论k，1P，2P如何，总有唯一解源:（C）存在k，1P，2P使之恰有两解（D）存在k，1P，2P，使之有无穷多解B例题2．直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1，2)，求直线l的方程．【解析】法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0，4－y0)，并且满足00004303(2)5(4)50xyxy，，即4x0＋y0＋3＝0，3x0－5y0＋31＝0，解得x0＝－2，y0＝5，因此直线l的方程为2(1)522(1)yx，即3x＋y＋1＝0.例题3．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程．【解析】∵l1∥l2，∴m2＝8m≠n－1，∴m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2.（1）当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0.∴|n＋2|16＋64＝5，解得n＝－22或n＝18．所以，所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.解法2：考虑到两直线30xy与30xy相互垂直，且交点就是坐标原点，因此我们把这两条直线同时绕原点旋转到与坐标轴重合，在旋转过程中，动点P到原点距离的最小值不变，这时动点P变成到两坐标轴的距离这和为4，在第一象限内为线段4(0,0)xyxy，P到原点距离最小值为22，在其它三个象限也一样最小值为22．这就是所求的最小值．【解析】解法1：设P(x，y)，由已知|3||3|41010xyxy，即|3||3|410xyxy．当30,30xyxy时，P点坐标满足22100xy，则其运动轨迹为夹在两条直线30,30xyxy之间的一段线段（如图）；当30,30xyxy时，P点坐标满足22100xy；当30,30xyxy时，P点坐标满足22100xy；当30,30xyxy时，P点坐标满足22100xy；这四段线段构成一个正方形，P到原点距离最小值即为原点到四条直线的距离为2105=22．xyOABCD技巧传播在解析几何部分，两条直线的位置关系有三种：平行、相交、重合．它们分别对应方程组无解、有且只有一个解、有无数组解．在解题时注意不要忽略重合的情况．利用解方程组的方法判定两条直线的位置关系，是数形结合的典型体现，这种解题思想在后面我们学习直线与圆、直线与圆锥曲线时有很重要的应用．一定要深刻领会.陷阱规避例题2．过点(2，1)且到原点的距离为2的直线方程为________.【正解】直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0，由题意，2|12|21kk，解得34k，则直线方程为3x+4y-10=0．直线斜率不存在时，方程为x=2，也符合题意．所以所求直线方程为3x+4y-10=0或x=2．【正解】由题意，得6a2＋a4＝|4a－a2＋6|a2＋a4，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6．检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6．【答案】－2或4或6．【错因分析】忽略对参数值的检验导致错解.【错解】设直线方程为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0,由题意，2|12|21kk，解得34k，则直线方程为3x+4y-10=0．
