也谈硬币能滚多远VIP专享VIP免费

日期：2009.8.7.所投栏目：辅导参考.联系方式：15972561623.E－mail：932631151@qq163.com也谈硬币能滚多远湖北省郧县高庙中学（442519）王显翠《中小学数学》2009版1-2期p54页何秀岩老师的《硬币能滚多远》一文中，再次把双动圆之类问题呈现到了大家面前．就象何老师文中所言，这种问题很有趣，与圆的知识联系紧密，有助与激发学生的学习兴趣．但学生难以理解，更不易于操作．其实这类问题，不仅北师大版教材中才出现，早在1994年10月人教版初中《几何》第三册189页就出现了这个问题，历时七年，在2001年的版本中被删除．问题的原因关键在于一线的教师们争议颇多，没有人能真正领会数学家源创数学知识时的动机，去抓住问题的本质和规律，从眼花潦乱的客观现象中抽象出基本实质，从而给学生一个明确而通俗的解释．这些年来，我也和同事们一起探讨过这个问题，也读过类似何老师这样的文章．这里的基本事实、基本结论是大家都认可的，但是面对著此模糊的，笼统的解释，总觉得不具备足够的说服力和可操作性．不象何老师文中所说那样学生动手试一试，一做便有了答案．一些总结性的结论，也同样让人费解．以下是我对此事一点浅薄的理解，以供大家参考．首先，这个问题不是一个单一的数学问题，应该结合其他学科学辩证的去理解，下面我们先看这样一个现象:如图（1），站在A点看B点，B点在A点的正东方，当B点绕A点逆时针旋转30°时，B点在A点的东偏北30°方向上，距离不变；当B点不动，A点绕B点逆时针旋转30°达到A′时，站在A′点位置看B点，仍然是B点在A点的东偏北30°方向上，距离不变；若A、B两点都先后绕对方原位置逆时针旋转30°，则站在A′处看B′，显然已是东偏北60°了;反之若B点绕A点原位置逆时针旋转30°,而A点绕B点原位置顺时针旋转30°，则B′点仍在点的正东方．这其实就告诉我们前边问题中，现象与本质之间的差异了．【问题一】:一枚半径为R的硬币沿直线滚动一周，圆心移动的距离是多远？在这个问题中，看似简单，但其过程分解后并不简单．如图（2）所示，在⊙0运动的四个阶段圆上某点（切点）始终在0点正下方，即偏转角为0，而半径0A依次转过90°、180°、270°、360°，最后A点又回到切点位置．也就是说，A点相对于O点原位置转AB′B30°60°图（1）30°A′A′30°了360°，而O点相对于A点原位置没有任何转动，故⊙0转动一周，圆心移动距离为⊙0的周长．【问题二】，取两枚大小相同的硬币，半径为r，将其中一枚固定在桌面上，另一枚沿着固定硬币滚动一周，那么硬币的圆心经过的距离是多少？自身转了多少圈？我们抓住了问题的本质，就不怕它现象复杂了，如图（3）：由图①到图②，设⊙B绕⊙A顺时针转过角度为a，则∠MAN﹦∠M″BN﹦a,在无滑动前提下，则弧MN=弧M′N，设∠M′BN﹦x°,则=,故∠M′BN﹦a．此时不难看出，当⊙B绕定圆⊙A从M点滚动到N点的过程中圆心B移动的距离为，而⊙B自身转过的角度为∠M′BM″=2a.依次类推当⊙B绕定圆⊙A旋转一周时圆心B移动的距离为=4πr,⊙B自身转过的角度为2×360°=720°,即⊙B自身转了两圈．这与何文的结论是相符的．由此可以做出如下推理：一般地，设大圆半径为R小圆半径为r．①当小圆在大圆外滚动时如图（4）弧MN=弧M′N,即=,x=,∠M′BM″=x+y=(R+r)y/R②当小圆在大圆内滚动时如图（5）弧MN=弧M′N,即,∠M′BM″=x-y=(R-r)y/R通过这个过程可以看出，当小圆在大圆外滚动时，两个偏转角方向相同，从而导致了动圆实际转动角度是两个偏转角的角度之和；而在内部滚动时，方向相反，从而动圆实际转动角度是两个偏转角的角度之差，而两个偏转角的大小则与两圆的半径有关．另外，这种外加内减方法也可以引申到动圆在其他路线上的运动，用这种观点来解释何老师文中另外两例就不难了，何文中问题四的两例都是相当于在外部转动，而拔高题中，则两ABMNM′M″xyx图（5）ABABaMNMax①②图（3）M′ABB′NMxxM″图（4）yM′种转动成分兼而有之．总之，在教学中，教给学生用一种浅显的思维方式去思考一些深刻的道理，不仅可以使复杂的问题简单化，而且可以引发学生的探究兴趣和创新精神．反之机械的灌输，至酷的训练，反而窒息了学生的活力，束缚人类创造才能的正常发挥．