●课题§5.5.1线段的定比分点●教学目标(一)知识目标1.线段的定比分点坐标公式；2.线段的中点坐标公式.(二)能力目标1.掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；2.熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式；3.理解点P分有向线段21PP所成比的含义；4.明确点P的位置及范围的关系.●教学重点线段的定比分点和中点坐标公式的应用.●教学难点用线段的定比分点坐标公式解题时区分＞0还是＜0.●教学方法启发引导式●教具准备投影仪、幻灯片第一张：例1(记作§5.5.1A)第二张：例2(记作§5.5.1B)●教学过程Ⅰ.课题引入［师］上一节，我们一起研究了平面向量的坐标表示问题，这一节，我们一起来研究线段的定比分点问题，并将学习定比分点坐标公式的具体应用.Ⅱ.讲授新课1.定比分点坐标公式：若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，为实数，且PP1＝2PP，则点P的坐标为(121xx，121yy)，我们称为点P分21PP所成的比.说明：(1)定比分点坐标公式的推导应指导学生自学；(2)点P分12PP所成的比与点P分21PP所成的比是两个不同的比，要注意方向.2.点P的位置与的范围的关系：①当＞0时，PP1与2PP同向共线，这时称点P为21PP的内分点.特别地，当＝1时，有PP1＝2PP，即点P是线段P1P2之中点，其坐标为(221xx，221yy).②当＜0时，PP1与2PP反向共线，这时称点P为21PP的外分点.3.线段定比分点坐标公式的向量形式：网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1在平面内任取一点O，设1OP＝a，2OP＝b，由于PP1＝OP－1OP＝OP－a，2PP＝2OP－OP＝b－OP且有PP1＝2PP，所以OP－a=(b－OP).即可得OP=1ba=11a＋1b.这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用.［例1］已知点P为有向线段AB的外分点，则点P分有向线段AB的比的范围是________.A.＜0B.－1＜＜0C.＜－1D.－1＜＜0，或＜－1［师］大家在考虑问题时注意线段定比分点的定义.［生甲］因为点P为有向线段AB的外分点，根据内分＞0，外分＜0可知应选A.［生乙］应根据点P与A、B的相对位置进行讨论.解：由线段定比分点定义可知=－||||PBAP，点P位置可分两种情况.(ⅰ)当点P在点A的左侧时， 0＜|PA|＜|PB|，∴0＜||||PBPA＜1.∴0＞－||||PBAP＞－1，即－1＜＜0.(ⅱ)当点P在点B的右侧时， |PA|＞|PB|＞0∴||||PBPA＞1网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网2∴－||||PBPA＜－1，即＜－1∴＜－1或－1＜＜0，故选D.［例2］已知A(1，3)，B(－2，0)，C(2，1)为三角形的三个顶点，L、M、N分别是BC、CA、AB上的点，满足BL∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3，求L、M、N三点的坐标.分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点L、M、N分向量BC、CA、AB所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标.另外，要求L、M、N的坐标，即求OL、OM、ON的坐标(这里O为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式.解： A(1，3)，B(－2，0)，C(2，1)，∴OA＝(1，3)，OB＝(－2，0)，OC＝(2，1)又 BＬ∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3∴可得：L分CB，M分AC，N分BA所成的比均为＝2∴OL＝11OC＋1OB＝)31,32()0,2(32)1,2(31OM=11OA+1OC=)35,35()1,2(32)3,1(31ON＝11OB＋1OA＝)2,0()3,1(32)0,2(31∴Ｌ(－31,32)、M(35,35)、N(0，2)为所求.［例3］已知三点A(0，8)，B(－4，0)，C(5，－3)，D点内分AB的比为1∶3，E点在BC边上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求DE中点的坐标.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网3分析：要求DE中点的坐标，只要求得点D、E的坐标即可，又由于点E在BC上，△BDE与△ABC有公共顶点B，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解.解：由已知有AD＝DB31，则得43||||ABDB又21ABCBDESS，而S△BDE＝21｜DB｜｜BE｜·sinDBE，S△ABC＝21｜AB｜｜BC｜sinABC，且∠DBE＝∠ABC∴21||||||||BCABBEDB，即得32||||BCBE又点E在边BC上，所以||||ECBE＝2，∴点E分BC所成的比＝2由定比分点坐标公式...
