8．1椭圆及其标准方程一、本章主要内容9．1椭圆及其标准方程课本第92页至第97页本讲主要内容1、椭圆的定义及运用；2、用待定系数法求椭圆标准方程。二、学习指导1、椭圆的定义用集合表示为{P||PF1|+|PF2|=2a，其中F1、F2是两个定点，2a为定值，2a>|F1F2|}当2a=|F1F2|时，点P的轨迹为线段F1F2当2a<|F1F2|时，点P不存在椭圆的定义作为判定定理用，是求轨迹方程中的定义法；椭圆的定义作为性质定理用，是解决椭圆问题的重要思想方法。课本在推导椭圆标准方程时，涉及到两个无理式的化简及字母计算，希望同学们亲手操作。字母运算是本章的特点，属于技能范畴，同学们要定下心来，在合理选择运算途径后，多算，细心算。2、椭圆的标准方程是指在以焦点的中点为原点，焦点在坐标轴上的前提条件下推导出来的。当焦点在x轴上时，方程类型为当焦点在y轴上时，方程类型为=1恒有a>b>0。字母x通常写在前面。为了运算简单，有时也用整式形式，如Ax2+By2=1（A>0，B>0)等。3、求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。其步骤为：（1）选标准，即判定焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两种情况都有可能；（2）定参数，通过解方程组的思想求得a2，b2，或c2，a2=b2+c2。实际上，定参数（a，b，c）是定椭圆的形状，选标准是确定椭圆在坐标系中的位置。四、典型例题例1、椭圆焦距|F1F2|=4，点P在椭圆上，∠F1PF2=，若△F1PF2的面积S=，求椭圆的标准方程。解题思路分析：因△F1PF2的面积可通过S=及S=两种方式转化，故本题有两种解题途径。思路一：如图，建立坐标系，则F1(-7，0)，F2(7，0)，不妨设P(x0，y0)，（x0>0，y0>0） ∴又，直线PF1到直线PF2的角为1∴∴∴ P在椭圆上∴∴……①又a2-b2=c2=49……②①②联立，解得a2=62，b2=13∴所求椭圆方程为当F1，F2在y轴上时，椭圆方程为思路二：不防设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则∴r1r2=52在△F1PF2中|F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos∴|F1F2|2=(r1+r2)2-r1r2∴142=(2a)2-52∴a2=62∴b2=a2-c2=13当焦点在x轴上时，椭圆方程为当焦点在y轴上时，椭圆方程为注：思路一偏重于坐标系中的运算，思路二涉及到三个方面的重要知识，一是定义，一般地，当涉及到椭圆上的点到焦点的距离（又称焦半径）时，总是联想到定义，这是解题规律；二是解三角形的知识，如正弦定理，余弦定理等，△PF1F2常称为焦点三角形，三是整体计算的思想，如2a=r1+r2，求得r1+r2，即求得2a；对条件r1r2的整体运用等。思路二是先定形状，再定位置。例2、定点A（-1，1），B（1，0），点P在椭圆上运动，求|PA|+|PB|的最值。解题思路分析：B为右焦点若用距离公式建立函数关系再求最值显然行不通考虑用平面几何知识求解2解题的突破口是用定义转化|PB|设左焦点为B1（-1，0），则|PB|=2a-|PB1|=4-|PB1|∴|PA|+|PB|=4+|PA|-|PB1| |PA|-PB1|≤|AB1|当且仅当P、A、B1三点共线时，等号成立∴连AB1，延长交椭圆于P1，则|P1A|-|P1B1|=|AB1|∴当P在P1时(|PA|-|PB1|)max=|AB1|=1∴(|PA|+|PB|)max=5，此时P1（-1，）又|PA|+|PB|=4+|PA-|PB1|=4-（|PB1|-|PA|）∴当|PB1|-|PA|最大时，|PA|+|PB|最小同刚才理由，延长B1、A交椭圆于P2则|PB1|-|PA|≤|AB1|=|P2B1|-|P2A|=1∴(|PA|+|PB|)min=3，此时P2（-1，）注：本题关键有二，一是利用定义转化焦半径；二是利用了三角形中边的不等关系，即两边之差小于第三边，如一般情形下，|PB1|-|PA|<|AB1|。当|AB1|为常数，且严格不等号能取得等号时，|AB1|为|PB1|-|PA|的最大值。这是利用最值定义求最值时一种重要的处理方法，即先找不等关系，再试图寻找等号成立的条件。例3、已知△ABC的三边a>b>c，且a、b、c成等差数列，A、C坐标分别为（-1，0）和（1，0），求顶点B的轨迹。解题思路分析： a、b、c成等差数列∴a+c=2b即|BC|+|BA|=2|AC|=4 A、C为定点，4>|AC|>2∴由椭圆定义知，点B轨迹是以A、C为焦点的椭圆，其方程为根据题设，需检查完备性 a>b>c∴|BC|>|BA|∴点B在y轴右侧又ABC构成三角形∴y≠0∴所求轨迹为椭圆在y轴左侧部分，去掉（-2，0），如图例4、已知椭圆两个焦点坐标是F1（-2，0）、F2（2，0），且经过点P（），试求椭圆的标准方程。解题思路分析：法一：利用待定系数法根...
