第5课时曲线与方程教材回扣夯实双基基础梳理1.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么,这个方程叫做____________;这条曲线叫做_____________.曲线的方程方程的曲线思考探究若曲线与方程的对应关系只满足第(2)个条件会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系;(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y);(3)列式——列出动点P所满足的关系式;(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．求轨迹方程的常用方法求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.4．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x,y)＝0,曲线C2的方程为F2(x,y)＝0,则C1,C2的交点坐标即为方程组F1x，y＝0F2x，y＝0的实数解,若此方程组______,则两曲线无交点.无解课前热身1．方程x2＋xy＝0的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线答案：C2.(教材习题改编)与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝1－x2答案：B3．已知△ABC三边AB、BC、CA的长成等差数列，且|AB|>|CA|，点B、C的坐标为(－1,0)、(1,0)，则动点A的轨迹方程是()A.x24＋y23＝1B.x24＋y23＝1，x>0C.y24＋x23＝1D.x24＋y23＝1，x>0，且y≠0答案：D4.(2012·福州质检)已知A(0,1),B(1,0),则线段AB的垂直平分线l的方程是________.答案：y＝x5.已知点A(－2,0)、B(－3,0),动点P(x,y)满足PA→·PB→＝x2＋1，则点P的轨迹方程是________．答案：y2＋5x＋5＝0考点探究讲练互动考点突破考点突破直接法求轨迹方程如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求轨迹方程时可用直接法．求出方程后，可通过研究方程进一步确定曲线的类型、形状和位置等．(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,－1),B点在直线y＝－3上,M点满足MB→∥OA→,MA→·AB→＝MB→·BA→,M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．例1【思路分析】设出P点坐标，代入已知等式．【解】(1)设M(x,y),由已知得B(x,－3).又A(0,－1).所以MA→＝(－x,－1－y),MB→＝(0,－3－y),AB→＝(x,－2).再由题意可知(MA→＋MB→)·AB→＝0,即(－x,－4－2y)·(x,－2)＝0.所以曲线C的方程式为y＝14x2－2.(2)设P(x0,y0)为曲线C:y＝14x2－2上一点,因为y′＝12x,所以l的斜率为12x0.因此直线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x20＝0.则O点到l的距离d＝|2y0－x20|x20＋4.又y0＝14x20－2，所以d＝12x20＋4x20＋4＝12(x20＋4＋4x20＋4)≥2，当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.【名师点评】(1)直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法．圆锥曲线的标准方程都是由直接法求得的．当轨迹易于列出动点(x，y)满足的方程时可用此法．(2)求动点轨迹时应注意它的完备性.若化简过程破坏了方程的同解性,要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围).(1)运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．定义法求轨迹方程(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．例2如图,已知圆A:(x＋2)2＋y2＝1与点A(－2,0),B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)△PAB的周长为10；(2)圆P过点B(2,0)且与圆A外切(P为动圆圆心)．【思路分析】(1)由|PA|＋|PB|＋|AB|＝10知|PA|＋|PB|＝6,P点轨迹是椭圆,(2)外切得|PA|...
