二极坐标系第1课时极坐标系的概念极坐标系与点的极坐标1．极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做_____，自极点O引一条射线Ox，叫做_____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系.极点极轴2.点的极坐标：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的_____,记为ρ；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的_____,记为θ.有序数对________叫做点M的极坐标,记为M________；一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0，θ∈R.极径极角(ρ,θ)(ρ,θ)1.点与极坐标可以建立一一对应关系吗？提示：由于极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)都有惟一确定的点与之对应，但是，对于给定一点M,可以有无数个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应，所以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系.2.如图所示，已知△OM′M是等腰直角三角形，且｜OM′｜=,则点M的一个极坐标是______________.【解析】由题意，得所以点M的极坐标是答案：(答案不惟一)2MOM,4pТ=22MOOMMM222.=¢+¢=+=｜｜｜｜｜｜(2,2k,)kZ.4p+pÎ(2,)4p3.在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是____________.【解析】如图可知，在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是答案：(答案不惟一)P(2,)3pP(2,)3p2(22k),kZ.3p-+pÎ，2(2)3p-，1.极坐标系与平面直角坐标系的区别平面直角坐标系极坐标系定位方式横坐标、纵坐标角度和距离点与坐标点与坐标一一对应点与极坐标不一一对应外在形式原点,x轴,y轴极点,极轴本质两直线相交定点圆与射线相交定点2.点的极坐标的多样性在平面直角坐标系内，对于给定的有序数对(x,y)都有惟一确定的点与之对应，反之，对于给定一点M,也有惟一的有序实数对(x,y)与之对应，也就是说，点与有序实数对是一一对应的.在极坐标系中，由于点M的极坐标不惟一，即点的极坐标可以是(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)，所以极坐标系中的点与极坐标之间不能建立一一对应关系.如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是惟一确定的.类型一极坐标系与点的极坐标【典型例题】1.在极坐标系中，极坐标(1,π)表示的点M与极点O之间的距离为______，点M的极角为______.2.关于极坐标的下列叙述：①极轴是一条直线；②极坐标(ρ,θ)表示的点不惟一；③极坐标(2,2kπ)(k∈Z)表示的点在极轴上；④点的轨迹是端点为极点的射线.其中正确的是___________(填序号).(,)(0)3prr³【解题探究】1.点的极坐标的意义是什么？2.理解极坐标系的概念的关键是什么？探究提示：1.极坐标是点到极点的距离与角的弧度数构成的有序数对.2.理解极坐标系的概念关键要明确极点、极轴、极径与极角等.【解析】1.在极坐标系中，极坐标(1,π)表示的点M与极点O之间的距离为1，点M的极角为π.答案：1π2.极轴是一条射线,①不正确；点的极坐标不惟一，而极坐标(ρ,θ)表示的点是惟一的，②不正确；极坐标(2,2kπ)(k∈Z)表示的点是惟一的，且在极轴上，③正确；点的轨迹是端点为极点，由极轴按逆时针方向旋转的射线，④正确.答案：③④(,)(0)3prr³3p【拓展提升】极坐标系与点的极坐标的特点(1)极坐标系是由始边、终边构成的角为背景的平面坐标系，点M的极坐标(ρ,θ)的几何意义是∠xOM=θ(一般用弧度数表示).(2)在极坐标系中，点M的极坐标不惟一，可以表示为(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)，其中θ∈［0,2π).OMr=，【变式训练】1.极坐标系中，点M(1,θ),θ∈［0,π］的轨迹为()A.点B.射线C.圆D.半圆2.极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2，则点M的极坐标的下列表示：①(2,0)；②(2,π)；③(2,－π)；④(2,2kπ)(k∈Z).其中，正确表示的序号为________.【解析】1.选D.极坐标系中，由于点M(1,θ),θ∈［0,π］的极径为1，极角θ∈［0,π］是一个变量，故点M的轨迹为圆心在极点，半径为1的上半圆.2.由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2，极角的始边为Ox，终边与平角的终边相同，故点M的极坐标为(2,π+2kπ)(k∈Z)，故②③正确.答案：②③类型二点与极坐标的对应关系以及距离公式【典型例题】1.在极坐标系中，M(3,0)，N(2,),...
