8.3空间向量的概念及运算【考纲要求】1、空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。②会推导空间两点间的距离公式。2、空间向量的概念及运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.【基础知识】1、共线向量定理如果向量为非零的向量，那么向量与向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得；2、共面向量定理如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使3、空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组使。我们把叫做空间的一个基底，其中叫基向量。4、空间直角坐标若为有公共起点的三个两两垂直的单位向量，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，有序实数组使得，我们把称作向量在单位正交基底下的坐标，记作5、空间直角坐标运算(1)设=,=，则=.(2)设=,=，则=.（3）设=,=，则(4)设，,则.(5)设=,=，则（6）设=,=，则（7）设=则(8)设=,=，为向量与的夹角，则6、结论四点共面【例题精讲】例1如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D、E分别是棱AB、B1C1的中点，F是AC的中点，求DE、EF的长度．解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． |C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝＝，|EF|＝＝.例2已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点的轨迹．解：(1)设P(a,0,0)，则由已知，得＝，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8.解得a＝1.所以P点坐标为(1,0,0)．(2)设M(x,0，z)，则有＝.整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．【方法总结】8.3空间向量的概念及运算强化训练【基础精练】1．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为()A.B.C.D.2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为()A．10B.C.D．383．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是()A.B.C.D.4．点P(x，y，z)满足＝2，则点P在()A．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D．无法确定5．若A、B两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)、B(2cosθ，2sinθ，1)则|AB|的取值范围是()A．[0,5]B．[1,5]C．(1,5)D．[1,25]6．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)则AC边上的高BD等于()A．5B.C．4D．27．点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|＝__________.8．已知三角形的三个顶点为A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则BC边上的中线长为__________．9．已知x，y，z满足(x－3)2＋(y－4)2＋z2＝2，那么x2＋y2＋z2的最小值是__________．10．(15分)如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．11．(15分)在空间直角坐标系中，解答下列各题：(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．12．(16分)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，正方体的三条棱所在的直线分别为坐标轴，建立空间直角坐标系D－xyz，有一动点P在正方体的各个面上运动．(1)当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时，探究动点P的坐标特征；(2)当点P分别在各个面的对角线上运动时，探究动点P的坐标特征．【拓...
