15.4角的平分线第15章轴对称图形与等腰三角形明确目标学习新知识达标测评课堂小结第2课时角平分线的性质定理与它的逆定理李伟华1.理解角平分线的性质定理和它的逆定理;（重点）2.能应用这两个定理解题.（难点）学习目标学习目标1理解角平分线的性质定理和它的逆定理1.角平分线的性质定理•完成课本P143“思考”：如图，OP是∠AOB的平分线,P是OP上任一点，过点P分别作PD⊥OA,PE⊥OB，点D，E是垂足，请你猜想PD，PE长度之间有什么关系吗？证明你的猜想.学习新知识EDOABPC证明:∵OC平分∠AOB,P是OC上一点，（已知）∴∠DOP=∠BOP.（角平分线定义）∵PD⊥OA,PE⊥OB，（已知）∴∠ODP=∠OEP=90°.（垂直的定义）在△OPD和△OPE中，∠DOP=∠EOP，（已证）∠ODP=∠OEP，（已证）OP=OP，（已知）∴△OPD≌△OPE,(AAS)∴PD＝PE.（全等三角形对应边相等）已知:OC平分∠AOB,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB.求证:PD=PE.EDOABPC学习目标1理解角平分线的性质定理和它的逆定理由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等．逆命题角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.你能证明吗？定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.应用定理的书写格式：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE.EDOABPC学习目标1理解角平分线的性质定理和它的逆定理如图，PD⊥OA、PE⊥OB,垂足分别是D、E，PD=PE．求证：点P在∠AOB的角平分线上BADOPE所以该逆命题成立学习目标1理解角平分线的性质定理和它的逆定理如图，PD⊥OA、PE⊥OB,垂足分别是D、E，PD=PE．求证：点P在∠AOB的角平分线上BADOPE如图，PD⊥OA、PE⊥OB,垂足分别是D、E，PD=PE．求证：点P在∠AOB的角平分线上∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP,PD=PE,∴Rt△PDORt△△PEO(HL).∴∠AOP=∠BOP,∴点P在∠AOB角平分线上.BADOPE证明：作射线OP,角平分线上的点到角两边的距离相等．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.请大声的读两次这两个定理，边读边记学习目标1理解角平分线的性质定理和它的逆定理典例精析ABCP例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P也在∠A的平分线上.NM学习目标2能应用角平分线性质定理和它的逆定理解题证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC,垂足分别为D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上,（已知）∴PD=PE.（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PF,（等量代换）∴点P在∠A的平分线上,即点P到AB、BC、CA三边的距离相等.ABCPEDFMN学习目标2能应用角平分线性质定理和它的逆定理解决问题1.完成课本第144－145页练习第1，2题.（由组长组织本小组同学先独立完成，再群学讨论后得出答案.）知识应用学习目标2能应用角平分线性质定理和它的逆定理解决问题4cm1.在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDE2.如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC达标测评解：相等，因为角平分线上的点到角的两边的距离相等3.如图,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E,F,DE=DF,∠EBD=30°,则∠EBF=°，BE=．60BFABCDEF4.如图,△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,1=2,∠∠且AE+DE=6cm,那么线段BE是∠ABC的，AC=.C12ABED角平分线6cm角平分线的性质及判定性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.课堂小结判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.拓展练习5.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90°,（已知）∴CD＝DE.(角平分线的性质)在Rt△CDF和Rt△EDB中,CD=DE,（已证）DF=DB,（已知）∴Rt△CDFRt≌△EDB,(HL)∴CF=EB.（全等三角形对应边相等）CFAEDB
