第四节直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线与平面，则称直线平行于平面．(2)判定定理：若，则b∥α.2．直线与平面平行的性质定理若，则a∥b.没有公共点a⊂α，b⊄α，a∥ba∥α，a⊂β，α∩β＝b3．面面平行的判定与性质4.与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒；(2)a⊥α，a⊥β⇒.a∥bα∥β1．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线有哪些位置关系？【提示】平行或异面．2．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面一定平行吗？【提示】不一定．可能平行也可能相交．1．(教材改编题)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内可能存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α没有公共点【解析】直线a与α不平行，则直线a在α内或与α相交，当直线a在平面α内时，在α内存在与a平行的直线，B正确．【答案】B2．若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α，是条件乙：l∥m的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 l∥α时，l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α也不一定平行，有可能l⊂α，∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．【答案】D3．已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________(填序号)．【解析】①中直线a与b可能平行或异面，②中直线a与b也不一定平行，可能异面，由线面平行的判定知③④正确．【答案】③④图7－4－14.(2011·福建高考)如图7－4－1，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．【解析】由于在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝22.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝12AC＝2.【答案】2(2011·山东高考)如图7－4－2，在四棱台ABCD—A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.图7－4－2【思路点拨】(1)欲证AA1⊥BD，只需证BD⊥平面ADD1A1，只要证BD⊥AD，在△ABD中，由余弦定理可得BD＝3AD，从而可证BD⊥AD.(2)设AC∩BD＝E，通过证明ECC1A1是平行四边形，证明CC1∥A1E.【尝试解答】(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠BAD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，所以BD2＝3AD2.所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.(2)如图，连接AC、A1C1.设AC∩BD于点E，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝12AC.由棱台的定义及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.,如图7－4－3，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.图7－4－3【证明】如图，连接AC交BD于O，连接MO， 四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM，则有PA∥平面BMD. 平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.如图7－4－4，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．图7－4－4【思路点拨】欲使平面C1CF∥平面ADD1A1，只需使平面C1CF中有两条相交直线与平面ADD1A1平行即可．而C1C∥平面ADD1A1，故只需再有一条直线与平面ADD1A1平行．而在平面ABCD中必存在过点C与AD平行的直线．【尝试解答】存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下： AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF，又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1，又CC1...
