2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.5正、余弦定理及其应用举例考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识梳理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝__________；b2＝__________；c2＝__________.变形形式①a＝____，b＝______，c＝____；②sinA＝____，sinB＝__________，sinC＝__________；③a∶b∶c＝__________；④＝.cosA＝__________；cosB＝__________；cosC＝__________解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．3．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东x°：指北方向向东旋转x°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．15．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．基础自测1．△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则b等于()．A．3B．C．D．22．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()．A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是()．A．5海里/时B．5海里/时C．10海里/时D．10海里/时4．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是()．A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ5．△ABC中，若a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝__________.思维拓展1．在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的什么条件？提示：充要条件．sinA＞sinB⇔＞⇔a＞b⇔A＞B.2．如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例)提示： cosA与b2＋c2－a2同号．∴当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．3．仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．4．如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示：利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．一、利用正弦、余弦定理解三角形【例1－1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.(1)求角C的大小；(2)如果a＋b＝6，＝4，求c的值．【例1－2】△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.方法提炼应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．同时，已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b2解的个数无解一解两解一解一解无解请做[针对训练]1二、三角形形状的判定【例2－1】△ABC满足sinB＝cosAsinC，则△ABC的形状是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【例2－2】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关...
