第44讲平面的基本性质与空间两直线的位置关系基础梳理1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过的一条直线．公理3：过的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．两点这个公共点不在同一条直线上2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：0，π2.锐角或直角3．平行公理(公理4)平行于的两条直线互相平行．4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别并且方向，那么这两个角．同一条直线平行相同相等公理的作用公理1的作用是判断点直线是否在某个平面内；公理2的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理3及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．正确理解异面直线的定义异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．双基自测1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．解析在同一个平面内，a与b没有公共点，则a∥b.若在空间中，a与b可能异面．答案平行或异面2．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这两条直线可能异面．命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如三棱锥的三条侧棱．命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上．命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内，所以正确命题的个数为0.答案03．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．解析如图所示，三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.观察图形，可得α、β、γ把空间分成7部分．答案74．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为________．解析符合要求的棱是BC，CD，C1D1，BB1，AA1共5条．答案55．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．答案24考向一平面的基本性质【例1】►在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________．[审题视点]过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线．解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB的延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分图形．同理延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案六边形画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③考向二异面直线【例2】►如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[审题视点...
