第三节空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过____________的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们________________过该点的公共直线．两点不共线有且只有一条2．空间点、直线、平面之间的位置关系3.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′a∥，b′b∥，把a′与b′所成的___________叫做异面直线a与b所成的角．锐角或直角(2)范围：(0，π2]．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线________．5．空间角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________________．平行相等或互补1．若直线a平面α，直线b平面α，则直线a，b是异面直线，这种说法正确吗？【提示】此说法不正确，直线a，b都不在平面α内，但可能都在平面β内．2．若一条直线l不在平面α内，则直线l与平面α是否一定平行？【提示】不一定．直线l与平面α可能平行，也可能相交．1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．3【解析】②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．【答案】C2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】若cb∥， ca∥，∴ab∥，与a，b异面矛盾．∴c，b不可能是平行直线．【答案】C3．(2013·佛山模拟)若直线l不平行于平面α，且lα，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交【解析】由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．【答案】B4．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．【解析】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MKDN.∥所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角．连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，【答案】90°则A1K＝（42）2＋32＝41，MK＝12DN＝1242＋22＝5，A1M＝42＋42＋22＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.如图7－3－2所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？【思路点拨】(1)利用中位线的性质证明GH綊BC即可．(2)法一证明D点在EF、CH确定的平面内．法二延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交证得四点共面．【尝试解答】(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形．(2)法一由BE綊12AF，且G为FA中点知BE綊GF，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．法二如图所示，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′， BE綊12AF，∴B为MA中点， BC綊12AD，∴B为M′A中点，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点共面．已知：空间四边形ABCD(如图7－3－3所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点．【证明】(1)连接EF、GH， E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD.又 CG＝13BC，CH＝13DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又 平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点.(1)如图7－3－4，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行空间两...
