【考纲下载】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.第2讲一元二次不等式一元二次不等式与相应二次函数、方程的关系(填表)判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相同实根x1＝x2＝－没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集∅{x|x＞x2或x＜x1}{x|x1＜x＜x2}∅1．已知集合A＝{x|x2－7x＋6≤0，x∈Z}，B＝{x|2x2－x－6>0，x∈Z}，则A∩B的子集个数为()A．16B．32C．15D．8解析：由x2－7x＋6≤0，得1≤x≤6，∴A＝{1,2,3,4,5,6}，由2x2－x－6>0，得x<－或x>2，∴B＝{x|x<－或x>2，且x∈Z}，∴A∩B＝{3,4,5,6}，∴A∩B的子集共有24＝16个．答案：A2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是()A．－4≤a≤4B．－4＜a＜4C．a≤－4或a≥4D．a＜－4或a＞4解析：Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.答案：A3．不等式≥2的解集是()A.B.C.∪(1,3]D.∪(1,3]解析：解法一：首先x≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x＋5≥2(x－1)2，即2x2－5x－3≤0，即(2x＋1)(x－3)≤0，解得－≤x≤3，故原不等式的解集是∪(1,3]．解法二：特殊值检验法．首先x≠1，排除B，显然x＝0，x＝2是不等式的解，排除A、C.答案：D4．已知(ax－1)(x－1)＞0的解集是{x|x＜1或x＞2}，则实数a的值为________．解析：由不等式解集是{x|x＜1或x＞2}可知＝2，∴a＝答案：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1．二次项若含有参数应讨论是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．2．判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．3．确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．【例1】解不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.思维点拨：先考虑a＝0，再考虑a≠0，然后因式分解，比较根的大小，得出解集．解：若a＝0，原不等式⇔－x＋1<0⇔x>1.若a<0，原不等式⇔(x－1)>0⇔x<或x>1.若a>0，原不等式⇔(x－1)<0(*)．当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0
1时，解集为其解的情况应由与1的大小关系决定，故①当a＝1时，(*)式⇔x∈∅；②当a>1时，(*)式⇔0变形为(x－a)(x－a2)>0.当a<0时，有aa2}；当0a2，解集为{x|xa}；当a>1时，有aa2}；当a＝0时，解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a＝1时，解集为{x|x∈R，且x≠1}.三个“二次”各自内涵丰富，而又联系密切，相互渗透．在解相关问题时，要灵活进行转化，并要重视函数与方程、数形结合等数学思想方法的综合运用．【例2】已知不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为{x|α0可化为x2＋<0.方程x2＋＝0的两个根为α、β.∴＝－(α＋β)，＝αβ. 0<α<β，a<0，∴>0，即c<0.因而不等式cx2＋bx＋a<0可化为x2＋>0，可得是方程x2＋＝0的两个根．又 0<α<β，∴故不等式cx2＋bx＋a<0的解集为函数式中含有两个参数，知道其中一个的范围求另一个的取值范围，常用的方法有：1．ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的充要条件是2．分离参数法，即化为a>f(x)恒成立或af(x)恒成立⇔a>f(x)max；a0在x∈[0,1]上恒成立，求实数a的取值范围．思维点拨：令f(x)＝x2＋ax－a＋1，则f(x)>0在x∈[0,1]上恒成立，等价于二次函数f(x)在[0,1]上的最小值大于零或分式函数(分离参数)在给定...
