第九节变化率与导数、导数的计算考纲点击1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.热点提示1.导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中.2.导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算.1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝(2)几何意义,函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为．3.函数f′(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.y－y0＝f′(x0)(x－x0)4.基本初等函数的导数公式5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；6.复合函数的导数复合导数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)y′u·u′xy对uu对x1.已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A.0.40B．0.41C.0.43D．0.44【解析】Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2＋1－(22＋1)＝22＋4Δx＋(Δx)2＋1－22－1＝4Δx＋(Δx)2＝4×0.1＋(0.1)2＝0.4＋0.01＝0.41.【答案】B【解析】【答案】B3.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2009(x)等于()A.sinxB．－sinxC.cosxD．－cosx【解析】f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－cosx，f4x＝f′3(x)＝sinx，…∴fn(x)以4为周期，f2009(x)＝f1(x)＝cosx．【答案】C【解析】【答案】【解析】 y′＝(sinx)′＝cosx，【答案】利用导数的定义求函数的导数求函数y＝在x＝1处的导数．【思路点拨】方法一：利用定义求导数值；方法二：先求导函数，再求导函数值．【自主探究】方法一：(导数定义法)方法二：(导函数的函数值法)【方法点评】1.根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率(3)得导数f′(x0)＝简记作：一差、二比、三极限．2.函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．【解析】Δy＝(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b－(x2＋ax＋b)＝x2＋2Δx·x＋(Δx)2＋ax＋aΔx＋b－x2－ax－b＝2Δx·x＋(Δx)2＋aΔx，∴y′＝2x＋a.1.利用导数的定义，求函数y＝x2＋ax＋b(a、b为常数)的导数．导数的运算【思路点拨】先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．求下列函数的导数：【自主探究】(2)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5与u＝2x－3复合而成，∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.【方法点评】1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果．2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便．3.复合函数的求导方法,求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决．(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算中的第一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函...
