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2024-11-12 发布于河南
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要点一不等式的性质性质别名性质内容注意①对称性a>b⇔bb，b>c⇒a>c③可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆性质别名性质内容注意a>bc>0⇒ac>bc④可乘性a>bc<0⇒acbc>d⇒a＋c>b＋d同向性质别名性质内容注意⑥同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒ac>bd同向同正⑦可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)⑧可开方性a>b>0⇒na>nb(n∈N*，n≥2)同正不等式不等号是否传递①a>b，b>c⇒a>c>，>⇒>传递②a≥b，b≥c⇒a≥c≥，≥⇒≥传递③a>b，b≥c⇒a>c>，≥⇒>传递④a≥b，b>c⇒a>c≥，>⇒>不传递需要注意的：例1适当增加不等式条件，使下列命题成立：(1)若a>b，则ac≤bc；(2)若ac2>bc2，则a2>b2；(3)若a>b，则lg(a＋1)>lg(b＋1)；(4)若a>b，则log0.5(a-1)b，c>d，则ad>bc.a>b>-1c≠0c≤0a>b>1a>b>0且c>d>0练习1．下列不等式中，正确的个数是()①若a>b，则ac>bc②若a·2c>b·2c，则a>b③若a>b，c>0，则algc>blgc④若a|c|>b|c|，则a>bA．0个B．1个C．2个D．3个C解析：对于①：a>b，取c＝0⇒ac＝bc，①错；对于②： 2c>0，∴a·2c>b·2c⇒a>b，②对；对于③：a>b，取c＝1，则algc＝blgc＝0，③错；对于④：a|c|>b|c|⇒|c|>0⇒a>b，④对．综上，正确的个数有2个，故选C.答案：C变式练习1：已知3个不等式：①ab>0；②－ca<－db；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个正确命题？试选一个给出证明．①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①.提示：不对；由于a>b>0，∴ab>0，∴1ab>0，而a>b，∴1ab·a>1ab·b，即1b>1a，故a>b>0⇒1a<1b，而由1a<1b推不出a>b>0.探究思考：a>b>0⇔1a<1b对吗？为什么？例2判断下列不等关系是否成立，并说明理由．(1)若ac2>bc2，则a>b；(2)若ab>0，a>c，则a2>bc；(4)若a>b，m∈N*，则am>bm.变式练习2已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题正确的是()A．如果a>b，那么ac>bcB．如果acb，那么1a<1bD．如果a>b，则ac2>bc2D要点二利用不等式性质证明不等式利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活准确地加以应用．例3(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac0.求证：a＋bb≤c＋dd.【解】(1) a>b，c>0.∴ac>bc，∴－ac<－bc. f0.∴ab≤cd，∴ab＋1≤cd＋1.∴a＋bb≤c＋dd.变式练习3已知a>b>0，ceb－d.证明： c－d>0. a>b>0，∴a－c>b－d>0.∴0<1a－c<1b－d.又 e<0，∴ea－c>eb－d.要点三利用不等式性质求范围利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的问题，对于这类问题要注意：同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们在解题时务必小心谨慎．先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围，这是避免犯错误的一条有效途径．整体法：例4已知12

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