第七节解三角形考纲点击掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.热点提示1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换，这是高考的热点.3.本节内容与实际生活紧密相连，是高考命题的热点，应高度重视.4.三种题型均有可能出现，属中低档题目.定理正弦定理余弦定理内容a2＝b2＋c2－2bc·cosA，b2＝c2＋a2－2ac·cosB，c2＝a2＋b2－2ab·cosC.变形形式2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a
ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．4．△ABC的面积公式(1)S=(ha表示a边上的高)；(2)S=absinC=12acsinB＝12bcsinA＝abc4R(R为外接圆半径)；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．A.14B.34C.24D.231．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于()【解析】由已知得b2＝ac，c＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝5a2－2a24a2＝34.【答案】B2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为()A.4003mB.40033mC.20033mD.2003m【答案】A【解析】作出示意图如图，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=.在Rt△ABC中，AD＝20033，∠BAD＝30°，则BD＝AD·tan∠BAD＝20033·tan30°＝2003，∴BC＝CD－BD＝200－2003＝4003.3．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c＝()A．1B．2C.3－1D.3【解析】由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即3＝1＋c2－c，c2－c－2＝0，解得c＝2或c＝－1(舍去)．【答案】B4.如图，在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝________.【解析】方法一：由正弦定理得BCsinA＝ABsinC＝ACsinB，∴sinC＝ABBC·sinA＝57×32＝5314， A＝120°，∴C＜90°.∴cosC＝1114，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝32×1114＋－12×5314＝3314，∴S＝12×5×7×3314＝1543.方法二：令AC＝b，由余弦定理得cosA＝b2＋25－492×5×b＝－12，得b2＋5b－24＝0，∴b＝3或b＝－8(舍去)，∴S＝12×5×3×32＝1543.【答案】15435．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向______才能追上乙船；追上时甲船行驶了______海里．【解析】如图，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用了时间t，【答案】北偏东30°正弦定理、余弦定理的简单应用在△ABC中，(1)若b＝，c＝1，B＝45°，求a及C的值；(2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求边c.【思路点拨】(1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解．(2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解．【自主探究】方法一：由正弦定理得2sin45°＝1sinC，所以sinC＝12.因为c＜b，所以C＜B，故C一定是锐角，所以C＝30°，所以A＝105°所以1sin30°＝asin105°，所以a＝2sin105°＝6＋22.方法二：根据b2＝a2...
