柱坐标系与球坐标系简介黄石三中谈玮．柱坐标系定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.柱坐标系空间任意一点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z球坐标系定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.球坐标系空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ(1)由变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得ρ2＝x2＋y2，z＝z，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2.tanθ＝yx＝3，又x＞0，y＞0.∴θ＝π3，∴点A的柱坐标为2，π3，5.[例1](1)设点A的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．(2)已知点P的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标．(2)由变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z得x＝4cosπ3＝2，y＝4sinπ3＝23，z＝8.∴点P的直角坐标为(2,23，8)．课堂练习：1．已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．解：ρ＝x2＋y2＝02＋12＝1.∵x＝0，y＞0，∴θ＝π2，∴点M的柱坐标为1，π2，2.2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标．(1)2，π6，1；(2)6，5π3，－2；(3)(1，π，0).解：设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(ρ，θ，z)＝2，π6，1，∴x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，z＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z)＝6，5π3，－2，∴x＝ρcosθ＝6cos5π3＝3，y＝ρsinθ＝6sin5π3＝－33，z＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z)＝(1，π，0)，∴x＝ρcosθ＝cosπ＝－1，y＝ρsinθ＝sinπ＝0，z＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2](1)已知点P的球坐标为4，3π4，π4，求它的直角坐标；(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标．[解](1)由坐标变换公式得，x＝rsinφcosθ＝4sin3π4cosπ4＝2，y＝rsinφsinθ＝4sin3π4sinπ4＝2，z＝rcosφ＝4cos3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)．(2)由坐标变换公式得，r＝x2＋y2＋z2＝－22＋－22＋－222＝4.由rcosφ＝z＝－22，得cosφ＝－22r＝－22，φ＝3π4.又tanθ＝yx＝1，则θ＝5π4(M在第三象限)，从而知M点的球坐标为4，3π4，5π4.3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标．(1)2，π6，π3；(2)6，π3，2π3.解：设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(r，φ，θ)＝2，π6，π3，∴x＝rsinφcosθ＝2sinπ6cosπ3＝12，y＝rsinφsinθ＝2sinπ6sinπ3＝32，z＝rcosφ＝2cosπ6＝3，∴12，32，3为所求．(2)∵(r，φ，θ)＝6，π3，2π3，∴x＝rsinφcosθ＝6sinπ3cos2π3＝－332，y＝rsinφsinθ＝6sinπ3sin2π3＝92，z＝rcosφ＝6cosπ3＝3，∴－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M(1，3，2)；(2)N(－1,1，－2)．解：(1)由变换公式得，r＝x2＋y2＋z2＝12＋32＋22＝22.由z＝rcosφ，得cosφ＝zr＝222＝22，∴φ＝π4，又tanθ＝yx＝31＝3，x＞0，y＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为22，π4，π3.(2)由变换公式得，r＝x2＋y2＋z2＝－12＋12＋－22＝2.由z＝rcosφ，得cosφ＝zr＝－22，∴φ＝3π4.又tanθ＝yx＝1－1＝－1，x＜0，y＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为2，3π4，3π4.课堂小结•课后练习
