第八节抛物线考纲点击1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.了解圆锥曲线的简单应用.热点提示1.抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点.2.考题以选择、填空题为主，多为中低档题.1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线，叫做抛物线的焦点，叫做抛物线的准线．距离相等点F直线l2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)图形性质对称轴焦点坐标F(，0)F(－，0)准线方程焦半径公式范围x≥0顶点坐标离心率ex轴x轴O(0,0)e＝1x≤0标准方程y2＝2py(p＞0)y2＝－2py(p＞0)图形性质对称轴焦点坐标F(0，)F(0,－)准线方程焦半径公式范围y≥0顶点坐标离心率eO(0,0)e＝1y≤0y轴y轴1．抛物线y＝－2x2的准线方程是()A．x＝12B．x＝18C．y＝12D．y＝18【解析】抛物线方程为x2＝－12y，∴p＝14，准线方程为y＝18.【答案】D2．若a∈R“，则a＞3”“是方程y2＝(a2－9)x表示开”口向右的抛物线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由抛物线y2＝(a2－9)x开口向右可得a2－9＞0，即得a＞3或a＜－3，∴“a＞3”是“方程y2＝(a2－9)x表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件，故应选A.【答案】A3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)【解析】F(1,0)，设A(y24，y)，则OA→＝(y24，y)，AF→＝(1－y24，－y)由OA→·AF→＝－4，得y24(1－y24)－y2＝－4，解得y＝±2，∴A(1，±2)．【答案】B4．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．【解析】抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F(p2，0)又线段OA的中点为(1，12)，且kOA＝12.那么线段OA的垂直平分线为：y－12＝－2(x－1)．将F(p2，0)代入，得0－12＝－2(p2－1)，∴p＝52.故抛物线方程为y2＝5x，故准线方程为：x＝－54.【答案】x＝－545．设抛物线y2＝8x，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过AB中点M作x轴平行线交y轴于N，若|MN|＝2，则|AB|＝________.【解析】由抛物线y2＝8x，得p＝4，设其准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，则|AA1|＋|BB1|＝2(|MN|＋2)＝8.又|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝8.【答案】8抛物线的定义及应用已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)．(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标；(2)求点P到点B(－12，1)的距离与点P到直线x＝－12的距离之和的最小值．【思路点拨】(1)由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．(2)把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可解决．【自主探究】(1)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6. ＞2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x=-的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值是即|PA|+|PF|的最小值为此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，∴点P坐标为(2,2)．(2)由于直线x=-即为抛物线的准线，故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|，当且仅当B、P、F共线时取等号．而∴|PB|+d的最小值为【方法点评】1.抛物线的离心率e=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化．2．焦半径|PF|=|x|+或|PF|=|y|+，它们在解题中有重要作用，注意灵活运用．1．求顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P(m，－3)到焦点的距离为5的抛物线方程．【解析】因焦点在y轴上，且抛物线经过点P(m，－3)，所以抛物线的焦点在y轴的负半轴上，可设抛物线的方程为：x2＝－2py(p＞0)，由定义知，点P到准线y＝p2的距离也是5，∴有p2－(－3)＝5，从而得p＝4，故所求抛物线的方程为x2＝－8y.抛物线的标准方程与几何性质已知如图所示，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A在抛物线上，其横...
