第五节数列的综合应用1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤用框图表示如下：2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？【提示】单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．1．(人教A版教材习题改编)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则S4＝()A．7B．8C．15D．16【解析】设数列{an}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2.∴S4＝1－241－2＝15.【答案】C2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟【解析】设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n≥7.【答案】B3．(2012·福建高考)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．【解析】设三角形的三边长从小到大依次为a，b，c，由题意得b＝2a，c＝2a.在△ABC中，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22×a×2a＝－24.【答案】－244．(2013·广州调研)已知{an}是等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10＝________．【解析】由题意知，a27＝a3·a9，∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，∴S10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.【答案】110(2012·四川高考改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，a1≠0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设λ＝100，当n为何值时，数列{lg1an}的前n项和最大？【思路点拨】(1)由an与Sn的关系，得an与an－1的递推公式，利用等比数列的定义求an；(2)根据等差(比)数列的性质，求{lg1an}前n项和的最值．【尝试解答】(1)当n＝1时，λa21＝2S1＝2a1， a1≠0，∴a1＝2λ，从而2an＝2λ＋Sn，①当n≥2时，2an－1＝2λ＋Sn－1，②由①－②，得2an－2an－1＝an，∴an＝2an－1(n≥2)，故数列{an}是公比为2，首项a1＝2λ的等比数列，因此an＝2λ·2n－1＝2nλ.(2)当λ＝100时，令bn＝lg1an，由(1)知，bn＝lg1002n＝2－nlg2，于是数列{bn}是公差为－lg2的递减数列．b1>b2>…>b6＝lg10026＝lg10064>lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg10027＝lg100128
