第一节平行线截割定理与直角三角形的射影定理1．平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段_______，那么在其他直线上截得的线段也________．(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必________第三边．(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_______另一腰．相等相等平分平分2．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的___________成比例．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________．3．相似三角形的判定定理1：两角对应__________，两三角形相似．定理2：两边对应___________且夹角_________，两三角形相似．定理3：三边对应____________，两三角形相似．对应线段成比例相等相等成比例成比例4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是__________在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与_______的比例中项．两直角边斜边相似三角形内切圆的半径比等于相似比的平方吗？【提示】相等．可通过S△＝12(a＋b＋c)r内来证明．1．(人教A版教材习题改编)如图1所示，F为ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC、AC于点G、E，EF＝16，则BE的长为________．【解析】由AF∥BC知，EFBE＝AFBC＝2，∴BE＝12EF＝8.【答案】82．如图2所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且ADDB＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．【解析】 ADDB＝2，∴ADAB＝23，故S△ADES△ABC＝49，∴S△ADES四边形DBCE＝45.【答案】453．如图3所示，在RtABC△中，∠ACB＝90°，CDAB⊥于点D，CD＝2，BD＝3，则AC＝________．【解析】由射影定理：CD2＝AD·DB，∴AD＝43，又AC2＝AD·AB，∴AC＝AD·AB＝43×（43＋3）＝2133.【答案】21334．如图4，∠B＝∠D，AEBC⊥，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________．【解析】由于∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD，所以△AEB∽△ACD，从而得ABAD＝AEAC，所以AE＝AB·ACAD＝2.【答案】2【思路点拨】由平行四边形，得DCAE∥，BFA∥D，运用平行线分线段成比例定理及推论，经中间值代换求值．如图5，在ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC于G，交BC于F.若DE＝5，DF＝3.则DGEG＝________．【尝试解答】在平行四边形到ABCD中，DC∥AE，BF∥AD，∴DGGE＝DCAE，DFDE＝DCAE，又DC＝AB，DE＝5，DF＝3，∴DGGE＝ABAE＝DFDE＝35.【答案】35平行线分线段成比例定理及推论一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理及推论将两条线段的比转化为另外两条线段的比．【答案】1(2013·佛山模拟)如图6所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，且AB＝2，AD＝2，则AF＝________．【解析】 DE∥BC，∴ADAB＝AEAC， EF∥CD，∴AFAD＝AEAC，∴ADAB＝AFAD，∴AF＝AD2AB＝（2）22＝1.【思路点拨】根据相似三角形的判定定理和性质定理．如图7，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.若AB＝32，AC＝4，AD＝2，则AE＝________．【答案】3【尝试解答】由已知条件，得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC，所以ABAD＝AEAC.∴AE＝AB·ACAD.又AB＝32，AC＝4，AD＝2.因此AE＝32×42＝3.1．本题用到了“同弧所对的圆周角相等”，这一性质．2．相似三角形的判定及性质的运用，是几何证明的基础，应用三角形相似既可推理证明，又可计算线段的比例与长度．【解析】 E为Rt△ADC斜边AC的中点，∴DE＝EC，则∠C＝∠EDC.又ADBC⊥，且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C，从而∠BDF＝∠EDC＝∠BAD.如图8所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，若DFAF＝34，则DBAD＝________．因此△DBF∽△ADF，∴DBAD＝DFAF＝34.【答案】34如图9，在△ABC中，ADBC⊥于D，DEAB⊥于E，DFAC⊥于F.若AE·AB＝5，则AF·AC＝________．【思路点拨】由垂直条件，联想射影定理，进行线段的计算与证明．【尝试解答】 AD⊥BC，∴△ADB为直角三角形，射影定理及应用图9又 DEAB⊥，由射影定理知，AD2＝AE·AB.同理在Rt△ADC中，AD2＝AF·A...
