第三节直线和平面垂直、平面和平面垂直三年13考高考指数:★★★★1.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;2.掌握斜线在平面上的射影的概念;3.掌握三垂线定理及其逆定理;4.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.1.直线和平面垂直的判定定理和性质定理是考查重点;2.垂直关系的判定与性质常与空间角等问题相结合,以解答题的形式出现,且常出现在解答题的第一问,考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;3.题型以选择题和填空题为主,且常与命题的真假判断相结合命题.1.直线和平面垂直的概念、判定及性质(1)定义如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,那么就说直线l和平面α_________.(2)判定定理条件→如果一条直线和一个平面内的_____________都垂直,结论→这条直线垂直于这个平面.(3)性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.互相垂直两条相交直线【即时应用】(1)思考:能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条”改为“无数条”?提示:不能.若改为“无数条”,则这些直线可能互相平行,不能判定垂直.(2)思考:若直线a∥直线b,且直线a⊥平面α,则b与α有什么样的位置关系?提示:b⊥α.(3)判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“×”)①垂直于同一直线的两个平面平行;()②垂直于同一直线的两条直线平行;()③直线垂直于平面,则直线垂直于平面内的任意直线.()【解析】垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面,故②错误,①③正确.答案：①√②×③√2.三垂线定理及其逆定理(1)定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线_____;(2)逆定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影_____.垂直垂直【即时应用】(1)若直线a与平面α相交且不垂直,那么在平面α内与直线a垂直的直线有______条.(2)如图,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为______.【解析】(1)由三垂线定理可知,平面α内所有与直线a的射影垂直的直线都与直线a垂直,故在平面α内与直线a垂直的直线有无数条.(2)由三垂线定理可知,BC⊥PC,可证△PAB,△PAC,△PBC和△ABC都是直角三角形.答案：(1)无数(2)43.平面与平面垂直的概念、判定及性质(1)定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相_____.(2)判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面_________.(3)性质定理如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于___________.垂直互相垂直另一个平面【即时应用】(1)如图,在正四面体PABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,判断下面四个结论是否正确.(请在括号内填“√”或“×”)①BC∥平面PDF;()②DF⊥平面PAE;()③平面PDF⊥平面PAE;()④平面PDE⊥平面ABC.()(2)判断下列说法是否正确.(请在括号内填“√”或“×”)①垂直于同一个平面的两个平面平行;()②若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直;()③两个平面α与β相交但不垂直,直线m在平面α内,则在平面β内不存在与m垂直的直线.()(3)已知α、β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的_______条件.【解析】(1)因为D、F分别为AB、AC的中点,所以DF∥BC,又因为BC在平面PDF外,所以BC∥平面PDF,故①正确;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论②③正确;由于点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论④不正确.(2)垂直于同一个平面的两个平面可能平行,也可能相交,故①错误;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故②正确;根据三垂线定理,在平面β内一定存在与m垂直的直线,故③错误.综上,①③错误,②正确.(3)由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定成立,所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.答案：(1)①√②√③√④×(2)①×②√③×(3)必要不充分直线与平面垂直的判定与性质【方法点睛】证明线面垂直的方法(1)利用线面垂直的定义.(2)利用线面垂直的判定定理：即m,nα⊂，m∩n=A,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.(3)利用线面垂直的性质：即a∥b,a⊥α...
