第三章不等式第2课时一元二次不等式的应用[学习目标]1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．3.掌握一元二次不等式的实际应用．[知识提炼·梳理]1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式．类型同解不等式f（x）g（x）>0(<0)法1：f（x）>0（<0），g（x）>0或f（x）<0（>0），g（x）<0法2：f(x)·g(x)>0(<0)f（x）g（x）≥0(≤0)法1：f（x）≥0（≤0），g（x）>0或f（x）≤0（≥0），g（x）<0法2：f（x）·g（x）≥0（≤0），g（x）≠0f（x）g（x）>a
0(a≠0)恒成立⇔a>0，Δ<0.ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔a<0，Δ<0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式1x>1的解集为x<1.()(2)求解m0恒成立⇔a>0Δ＝b2－4ac<0.()(4)已知不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为∅，则a>0，Δ≤0.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|x－2x≤0}，则A∩B等于()A．{x|－1≤x<0}B．{x|01.解：(1)原不等式可化为（2x－1）（3x＋1）≥0，3x＋1≠0.解得x≤－13或x≥12，x≠－13.所以x<－13或x≥12，所以原不等式的解集为xx<－13或x≥12.(2)法一原不等式可化为x＋3>0，2－x>x＋3或x＋3<0，2－x－3，x<－12或x<－3，x>－12.所以－30，化简得－2x－1x＋3>0，即2x＋1x＋3<0，所以(2x＋1)(x＋3)<0，解得－30(<0)或f（x）g（x）≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．[变式训练]解下列不等式．(1)1－x3x＋5≥0；(2)x－1x＋2>1.解：(1)原不等式可化为x－13x＋5≤0，所以（x－1）（3x＋5）≤0，3x＋5≠0，所以－53≤x≤1，x≠－53，即－530，所以x－1－（x＋2）x＋2>0，所以－3x＋2>0，则x<－2.故原不等式的解集为{x|x<－2}．类型2一元二次不等式恒成立问题[典例2]已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．解：若a＝0，原不等式为一次不等式，可化为－x－1<0，显然它对于任意的x不都成立，所以a＝0不符合题目...
