第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点．振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个振动量时AT＝___f＝1T＝___ωx＋φφ2πωω2π3．由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移1．五点作法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，首先确定哪些数据？【提示】先使ωx＋φ等于0，π2，π，3π2，2π，然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？【提示】前者平移|φ|个单位，后者平移|φω|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．1．(人教A版教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin(π3x＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3【解析】由题意知f(0)＝2sinφ＝1，∴sinφ＝12，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，又T＝6，故选A.【答案】A2．把y＝sin12x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sinωx的图象，则ω的值为________．【解析】横坐标变为原来的2倍，则x变为12x，故得到的函数解析式为y＝sin14x.【答案】143．(2012·安徽高考改编)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象向左平移________个单位．【解析】 y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋12)，∴只需将函数y＝cos2x的图象向左平移12个单位．【答案】124．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图3－4－1所示，则点(ω，φ)的坐标是________．【解析】由图象知A＝1，T＝4(712π－π3)＝π，∴ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.【答案】(2，－π6)(1)(2012·浙江高考改编)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是________(填序号)．(2)设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是()A.23B.43C.32D．3【思路点拨】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)平移后与原图象重合，则平移量是周期的整数倍．【尝试解答】(1)y＝cos2x＋1y＝cosx＋1y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)．因此所得的图象应为①.(2)设函数的周期为T，由题意kT＝43π，k∈Z，∴T＝4π3k，∴ω＝32k，k∈Z，且ω＞0.∴k＝1时，ω有最小值32.【答案】(1)A(2)C(1)(2013·惠州调研)要得到函数y＝sin(2x－π3)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π6个单位D．向右平移π6个单位(2)已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图象沿x轴向左平移π2个单位，得到的图象与y＝12sinx的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为()A．y＝12sin(12x－π2)B．y＝12sin2(x＋π2)C．y＝12sin(12x＋π2)D．y＝12sin(2x－π2)【答案】(1)D(2)D【解析】(1) y＝sin(2x－π3)＝sin2(x－π6)，∴只需将函数y＝sin2x的图象向右平移π6个单位．(2)将函数y＝12sinx的图象向右平移π2个单位后，得到的图象解析式为y＝12sin(x－π2)，再把得到的图象横坐标缩短到原来的12后得到的图象解析式为y＝12sin(2x－π2)．已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.(1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标系中，作出函数f(x)在[0，π]上的图象．【思路点拨】(1)运用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；(2)在表中列出[0，π]上的特殊点及两个区间端点，根据变化趋势画出图象．【尝试解答】(1)f(x)＝cos2x－sin2x－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝2(22cos2x－22sin2x)＝2cos(2x＋π4)．(2)列表...
