第2讲命题及其关系、充要条件基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的语句叫做命题，其中的语句叫真命题，的语句叫假命题．判断真假判断为真判断为假2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的．相同没有关系充分条件必要条件充要条件从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．双基自测1．(2011·南通调研)命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是________命题(填“真”“假”之一)．解析否命题为“若实数a满足a＞2，则a2≥4，是真命题．答案真2．(2011·镇江调研)“x＞1”是“x2＞x”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”之一)．解析由x2＞x，得x＜0或x＞1，因此由x2＞x推不出x＞1，但由x＞1可推出x2＞x，所以“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．答案充分不必要3．(2011·扬州调研)“α＝π6”是“sinα＝12”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析由α＝π6⇒sinα＝sinπ6＝12，反之，由sinα＝12/⇒α＝π6.答案充分不必要4．(2011·盐城调研)已知a，b，c是非零实数，则“a，b，c成等比数列”是“b＝ac”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”之一)．解析当a，b，c成等比数列时，b＝±ac，而对于非零实数，若b＝ac，则a，b，c成等比数列．答案必要不充分解析①“p∧q”为假命题，p，q至少有一个为假命题，①不正确．②否命题为“若x＜2或y＜3，则x＋y＜5”，②不正确．③当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc也成立，但a，b，c，d不成等比数列．③正确．④取A＝150°，则A＞45°，但sinA＝12＜22，④不正确．因此仅有③是真命题．答案3考向一四种命题及其关系【例1】►设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．[审题视点]分清命题的条件与结论，再结合不等式的性质判断真假．【训练1】命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是________，命题的否定是________．解析命题“若p则q”的否命题是“若綈p则綈q”，否定是“若p则綈q”．答案若一个数不是负数，则它的平方不是正数．若一个数是负数，则它的平方不是正数．考向二充分、必要条件和充要条件的判断【例2】►(2011·天津改编)设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．[审题视点]结合充分条件、必要条件的定义判断所给条件和结论的关系．解析化简得A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜0}，C＝{x|x＜0，或x＞2}．∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．答案充分必要条件判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.【训练2】若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则“x∉P”是“x∉Q”的________条件．解析由于原命题与它的逆否命题等价，所以只要判断“x∈Q”是“x∈P”的什么条件，因为P⊆Q，所以“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分的条件．答案必要不充分当有一负实根时，a≤1，1a＜0⇒a＜0，有两个负实根时，a≤1，－2a＜0，⇒0＜a≤1.1a＞0综上所述，a≤1.答案(－∞，1](1)解决此类问题一般是把充要条件等价转化为方程根的问题，根据判别式以及根与系数的关系列关于参数的不等式(组)求解．(2)①p的充分不必要条件为q等价于p⇐q，p⇒/q；②p的必要不充分条件为q等价于p⇒q，p⇒/q.
