第二节直线的交点坐标与距离公式三年2考高考指数:★1.会求两直线的交点坐标；2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离公式是高考的重点；2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答题中考查.1.两条直线的交点直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有__________，交点坐标就是方程组的解；平行方程组_________；重合方程组有__________.111222AxByC0AxByC0唯一解无解无数组解【即时应用】（1）思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合.（2）直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是__________.【解析】由直线l1与l2所组成的方程组∴直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是(2,-2).答案：(2,-2)5x2y60x23x5y160y2得：，（3）直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是__________.【解析】 由直线l1与l2所组成的方程组无解，∴直线l1与l2平行.答案：平行5x2y605x2y1602.距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离22122121PP(x-x)(y-y)0022AxByCdAB1222C-CdAB【即时应用】（1）原点到直线x+2y-5=0的距离是_______；（2）已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_________；（3）两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为____________.【解析】（1）因为（2）依题设及两点间的距离公式得：解得：a=±8；（3）因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.因此，两平行线间的距离为：答案：（1）（2）±8（3）220205d5.1222a051017,2250d5.2155两直线的交点问题【方法点睛】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)【例1】（1）求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经过点A(8,-4)的直线方程为__________；（2）已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交，求实数m、n满足的条件.【解题指南】（1）可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；（2）两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满足的条件.【规范解答】（1）方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标为(-2,1)，直线又过A(8,-4)，所以所求直线方程为：即x+2y=0；方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为x+y+1+λ(x-y+3)=0，又因为直线过A(8,-4)，所以8-4+1+λ(8+4+3)=0，解得:λ=-,所以，所求直线方程为x+2y=0.答案：x+2y=0y4x81428，13（2）因为两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0相交，因此，当m=0时，l1的方程为y=-，l2的方程为x=，两直线相交，此时，实数m、n满足的条件为m=0，n∈R；当m≠0时， 两直线相交，∴，解得m≠±4，此时，实数m、n满足的条件为m≠±4，n∈R.n812m82m【反思·感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求λ的值;2.考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存在.距离公式的应用【方法点睛】1.两点间的距离的求法设点A(xA,yA),B(xB,yB)，特例：AB⊥x轴时，|AB|=|yA-yB|AB⊥y轴时，|AB|=|xA-xB|.22ABABABxxyy.2.点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.3.两平行直线间的距离的求法(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意...
