第五节直线、平面垂直的判定及其性质三年20考高考指数:★★★★1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定.2.理解直线与平面所成角、二面角的概念.3.能证明一些空间垂直关系的简单命题.1.垂直关系的判断多以选择题或填空题的形式考查，考查对概念、公理、定理、性质、结论的理解，往往与命题的概念及平行关系综合在一起考查，难度较小；2.线面垂直、面面垂直关系的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等；3.通过求线面角，或与几何体的体积结合在一起命题，进而考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现.1.直线与平面垂直（1）直线与平面垂直的定义直线l与平面α垂直直线⇔l与平面α内的_____________都垂直.任意一条直线文字语言图形语言判定定理一条直线与一个平面内的_____________都垂直，则该直线与此平面垂直.αabOl l⊥a,l⊥b,aα,⊂bα,⊂a∩b=O,∴l⊥α符号语言两条相交直线（2）直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线______.aαb平行 a⊥α,b⊥α，∴a∥b符号语言（3）直线与平面垂直的性质定理【即时应用】（1）思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面α内，或者l与平面α相交但不垂直.（2）直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系是_________.【解析】由b∥α可得b平行于α内的一条直线，设为b′.因为a⊥α，所以a⊥b′，从而a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面.答案：垂直2.直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的____所成的____，叫做这条直线和这个平面所成的角.如图，_____就是斜线AP与平面α所成的角.（2）线面角θ的范围：θ∈［0，］.特别地,当直线与平面平行或在平面内时，规定直线与平面所成的角为__，当直线与平面垂直时，规定直线与平面所成的角为___.射影锐角∠PAO202【即时应用】（1）思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.（2）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C与平面A1B1C1D1所成的角为______，其大小为_______；D1B与平面ABCD所成的角为_________，其正弦值为_________.【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为∠CB1C1，其大小为45°；连接BD，则D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD，其正弦值为.答案：∠CB1C145°∠D1BD33333.平面与平面垂直（1）二面角①定义：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做___________.两个半平面叫做______________.如图，可记作:二面角__________或二面角_________或二面角________或二面角_______.两个半平面二面角的棱二面角的面α-l-βα-AB-βP-AB-QP-l-Q②二面角的平面角如图，从二面角α-l-β的棱l上的一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l,则______就叫做二面角α-l-β的平面角.③平面角的范围设二面角的平面角为θ，且半平面不共面，则θ∈(0,π).∠AOB（2）平面与平面垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直.直二面角文字语言图形语言判定定理一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直. ,______,∴垂线l⊥αlβ⊂αβlα⊥β②平面与平面垂直的判定定理符号语言③平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面垂直. ,_________,______________∴交线α⊥βα∩β=alβ⊂l⊥alaβαl⊥α【即时应用】(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.（2）已知α,β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”）【解析】由条件知，当m⊥β时，一定有α⊥β；但反之不一定成立.故填必要不充分.答案：必要不充分(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=_________.【解析】如图,...
