专题检测(二)三角函数与解三角形、平面向量(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝1－2sin2是A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数解析y＝1－2sin2＝cos＝sin2x，所以T＝π，且y＝sin2x为奇函数．故选B.答案B2．若函数f(x)＝sinax＋cosax(a＞0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为A.B.C.D．(0,0)解析f(x)＝2sin，∴T＝＝1，∴a＝2π，则f(x)＝2sin，令2πx＋＝kπ，得x＝－，k∈Z，∴当k＝1时，x＝，即f(x)的一个对称中心为，故选C.答案C3．已知实数a，b均不为零，＝tanβ，且β－α＝，则等于A.B.C．－D．－解析由β－α＝，得β＝α＋，故tanβ＝tan＝＝，与已知比较得a＝3t，b＝t，t≠0，故＝.答案B4．设a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为A．30°B．45°C．60°D．75°解析 a∥b，∴sinαcosα＝·，即sinαcosα＝，∴sin2α＝1，又 α是锐角，∴2α＝90°，α＝45°.答案B5．在梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝λ|DC|，设AB＝a，AD＝b，则AC等于A．λa＋bB．a＋λbC.a＋bD．a＋b解析AC＝AD＋DC＝b＋AB＝b＋a.故选C.答案C6．(2011·课标全国卷)设函数f(x)＝sin＋cos，则A．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称B．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称C．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称1D．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称解析 f(x)＝sin＋cos＝sin＝cos2x，当0＜x＜时，0＜2x＜π，故f(x)＝cos2x在单调递减．又当x＝时，cos＝－，因此x＝是y＝f(x)的一条对称轴．答案D7．下列命题中正确的是A．若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0B．若a·b＝0，则a∥bC．若a∥b，则a在b上的投影为|a|D．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2解析根据平面向量基本定理，必须在a，b不共线的情况下，若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0；选项B显然错误；若a∥b，则a在b上的投影为|a|或－|a|，平行时分两向量所成的角为0°和180°两种；a⊥b⇒a·b＝0＝(a·b)2＝0.故选D.答案D8．(2011·四川)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是A.B.C.D.解析在△ABC中，由正弦定理可得sinA＝，sinB＝，sinC＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，∴cosA＝≥，∴0＜A≤.答案C9．(2011·广州广雅中学模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象A．关于点对称B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称解析根据最小正周期为π，得ω＝2，向左平移个单位后得到函数f(x)＝sin＝sin的图象，这个函数是奇函数，由f(0)＝0和|φ|＜，得φ＝－，故函数f(x)＝sin.把各个选项代入，根据正弦函数图象对称中心和对称轴的意义知，只有选项B中的直线x＝是函数图象的对称轴．答案B10．(2011·安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析由∀x∈R，有f(x)≤知，当x＝时f(x)取最值，∴f＝sin＝±1，∴＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ或φ＝－＋2kπ(k∈Z)．2又 f＞f(π)，∴sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，∴－sinφ＞sinφ，∴sinφ＜0.∴φ取－＋2kπ(k∈Z)．不妨取φ＝－，则f(x)＝sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，∴＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．答案C11．设ω＞0，m＞0，若函数f(x)＝msin·cos在区间上单调递增，则ω的取值范围是A.B.C.D．[1，＋∞)解析f(x)＝msin·cos＝sinωx， ω＞0，m＞0，∴其增区间为(k∈Z)．又 f(x)在上单调递增，∴⊆.∴解之得ω≤.又 ω＞0，∴ω∈，故选B.答案B12．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于A.B.C.D．3解析 b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.又a＝，cosA＝＝，...
