第十节函数模型及其应用三年3考高考指数:★★1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.1.函数模型的应用是高考考查的重点.2.建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、均值不等式、函数的单调性、最值等交汇出现，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力.3.题型方面选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题为主.1.三种函数模型性质比较y=ax(a>1）y=logax(a>1）y=xn(n>0)在(0,+∞)上的单调性增长速度图象的变化相对平稳随n值变化而不同单调增函数单调增函数单调增函数越来越快越来越慢随x值增大,图象与y轴接近平行随x值增大,图象与x轴接近平行【即时应用】(1)思考:对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型，你作为老板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长?提示:公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选择对数模型增长.（2）当x越来越大时，下列四个函数中，增长速度最快的是_________.①y=2x,②y=x10,③y=lgx,④y=10x2【解析】由函数图象知，y=2x的增长速度最快.答案：①（3）函数y=2x与y=x2的图象的交点个数是________.【解析】由y=2x与y=x2的图象知有3个交点.答案：3(4)当2＜x＜4时,2x,x2,log2x的大小关系是_______.【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2x,y=x2,y=2x的图象,在区间（2，4）内从上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.答案：x2＞2x＞log2x2.常见的几种函数模型（1）直线模型:一次函数模型_______(k≠0),图象增长特点是直线式上升(x的系数k＞0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=kx(k＞0).（2）反比例函数模型:______(k＞0)型,增长特点是y随x的增大而减小.y=kx+bkyx(3)指数函数模型:y=a·bx+c(b＞0,b≠1,a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b＞1,a＞0)，常形象地称为指数爆炸.(4)对数函数模型，即y=mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a＞1,m＞0).(5)幂函数模型,即y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型:__________(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a＞0).y=ax2+bx+c(6)分段函数模型：y=,其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围不同.1122nnf(x),xDf(x),xDf(x)xD，【即时应用】(1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2011年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是___________.(2)某出租车公司规定乘车收费标准如下：3公里以内为起步价8元（即行程不超过3公里，一律收费8元）；若超过3公里，除起步价外，超过的部分再按1.5元/公里计价；若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱．已知该乘客下车时乘车行程为7.4公里，则该乘客应付的车费为__________.【解析】（1）设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a,则由题意得1-0.05=a50.∴∴y=()x·m=m,x∈N*.（2）依题意得，实际乘车车费为：8+1.5×(7.4-3)=14.6（元），应付车费15元.答案：（1）y=m,x∈N*（2）15元150a0.951500.95x500.95x500.95用函数刻画实际问题【方法点睛】用函数图象刻画实际问题的解题思路在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数去刻画，只需将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质（如单调性、最值等）、图象(增加、减少的缓急等)基本吻合即可.【例1】如图所示，向高为H的水瓶A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：（1）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a)，则水瓶的形状是__________;(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b)，则水瓶的形状是__________;(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c)，则水瓶的形状是_________;(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d)，则水瓶的形状是______________.【...
