精选【2-9】试列出图2-17,图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。xy2h1hbgo2hbhxyl/2/2hMNFSF1qq图2-17图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件,若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式,大边界上应精确满足公式(2-15)。【解答】图2-17:上(y=0)左(x=0)右(x=b)l0-11m-100xfs01gyh1gyhyfs1gh00代入公式(2-15)得①在主要边界上x=0,x=b上精确满足应力边界条件:100(),0;xxyxxgyh1bb(),0;xxyxxgyh②在小边界0y上,能精确满足下列应力边界条件:00,0yxyyygh③在小边界2yh上,能精确满足下列位移边界条件:220,0yhyhuv这两个位移边界条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力边界条件来代替,当板厚=1时,可求得固定端约束反力分别为:10,,0sNFFghbM精选由于2yh为正面,故应力分量与面力分量同号,则有:222100000byyhbyyhbxyyhdxghbxdxdx⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2,y=h/2上,应精确满足公式(2-15)lmxf(s)yf(s)2hy0-10q2hy01-1q0-/2()yyhq,-/2()0yxyh,/2()0yyh,/21()yxyhq②在x=0的小边界上,应用圣维南原理,列出三个积分的应力边界条件:负面上应力与面力符号相反,有/20/2/20/2/20/2()()()hxyxShhxxNhhxxhdxFdxFydxM③在x=l的小边界上,可应用位移边界条件0,0lxlxvu这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先,求固定端约束反力,按面力正方向假设画反力,如图所示,列平衡方程求反力:110,xNNNNFFFqlFqlF0,0ySSSSFFFqlFqlF2211110,'02222ASSqlhqlMMMFlqlqlhMMFl由于x=l为正面,应力分量与面力分量同号,故MNFSF精选/21/22/21/2/2/2()()22()hxxlNNhhxxlShhxyxlSShdyFqlFqlhqlydyMMFldyFqlF【2-10】试应用圣维南原理,列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件,并比较两者的面力是否是是静力等效?【解答】由于hl?,OA为小边界,故其上可用圣维南原理,写出三个积分的应力边界条件:(a)上端面OA面上面力qbxffyx,0由于OA面为负面,故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反,有0000200000022120bbbyyybbbyyybyxyxqbdxfdxqdxbxbqbxdxfxdxqxdxbdx(对OA中点取矩)(b)应用圣维南原理,负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反,面力主矢y向为正,主矩为负,则00200002120byNybyybxyyqbdxFqbxdxMdx综上所述,在小边界OA上,两个问题的三个积分的应力边界条件相同,故这两个问题是静力等效的。【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答:xyhob,1hbqAxyho/2bMA/2bNF2NqbF212qbMab图2-19精选qqqqababyxOxylO/2h/2hqlh?图2-20图2-21(a)图2-20,22xyqbs=,0yxy。【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答,必须满足:(1)平衡微分方程(2-2);(2)用应力表示的相容方程(2-21);(3)应力边界条件(2-15)。(1)将应力分量代入平衡微分方程式,且0xyff0yxxxy0yxyyx显然满足(2)将应力分量代入用应力表示的相容方程式(2-21),有等式左=2222xyxy=220qb=右应力分量不满足相容方程。因此,该组应力分量不是图示问题的解答。(b)图2-21,由材料力学公式,xMyI,*sxyFSbI(取梁的厚度b=1),得出所示问题的解答:332xxyqlh,22233-(4)4xyqxhylh。又根据平衡微分方程和边界条件得出:333222yqxyxyqxqlhlhl。试导出上述公式,并检验解答的正确性。【解答】(1)推导公式在分布荷载作用下,梁发生弯曲形变,梁横截面是宽度为1,高为h的矩形,其对中性轴(Z轴)的惯性矩312hI,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程23(),62qqxMxxFxll。精选所以截面内任意点的正应力和切应力分别为:332xMxxyyqIlh2222233431.424sxyFxyqxhybhhlh。根据平衡微分方程第二式(体力不计)。0yxyyx得:333.22yqxyxyqAlhlh根据边界条件/20yyh得q.2xAl故333.2.22yqxyxyqxqlhlhl将应力分量代入平衡微分方程(2-2)第一式:22336.60xyxyqqlhlh左右满足第二式自然满足将应力分量代入相容方程(2-23)22223312.12.0左右xyxyxyqqxylhlh应力分量不满足相容方程。故,该分量组分量不是图示问题的解答。【2-18】设有矩形截面的悬臂梁,在自由端受有集中荷...