同角三角函数基本关系与诱导公式VIP免费

3．2同角三角函数基本关系与诱导公式考点梳理1.同角三角函数的基本关系式基本关系式：____________＝1，tanα＝____________.sin2α＋cos2αsinαcosα2．诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦_____________________________余弦_____________________________正切____________________口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限sinα－sinα－sinαsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanαtanα－tanα－tanα即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成______时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．以上规律可概括为一句话“奇变偶不变，符号看象限”．将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的流程图为：任意角的三角函数→任意正角的三角函数→0°～360°角的三角函数→锐角的三角函数．锐角考点自测1.sin210°等于()A.32B．－32C.12D．－12解析：sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.答案：D2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为()A．1B．2sin2αC．0D．2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.答案：D3．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－35B．－15C.15D.35解析： sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×15－1＝－35.答案：A4．已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则sinα的值是()A．－55B.55C.255D．－255解析： α∈π，32π，∴sinα＜0，排除B、C.由tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－55.答案：A5．若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sin(θ－5π)·sin3π2－θ等于()A.43B．±310C.310D．－310解析：由sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，可得tanθ＝3，∴sin(θ－5π)sin32π－θ＝(－sinθ)(－cosθ)＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝310.答案：C疑点清源1.同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例如： sinα＝yr，cosα＝xr，∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2r2＝1.(2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．2．三角函数诱导公式fk2π＋α(k∈Z)的本质三角函数诱导公式fk2π＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限．对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α＜2π；②转化为锐角.题型探究题型一同角三角函数的基本关系的应用例1.已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．解析：(1)方法一，联立方程sinα＋cosα＝15，①sin2α＋cos2α＝1，②由①得cosα＝15－sinα.将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0. α是三角形的内角，∴sinα＝45，cosα＝－35.∴tanα＝－43.方法二， sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125.∴2sinαcosα＝－2425.∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925. sinαcosα＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＞0.∴sinα－cosα＝75.由...