【数学】《变化率问题》《导数的概念》课件(人教A版选修1-1)VIP专享VIP免费

1.1.1变化率问题问题1气球膨胀率在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是.34)(V3rr若将半径r表示为体积V的函数,那么.4V3)V(3r当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了),dm(62.0)0()1(rr气球的平均膨胀率为),dm/L(62.001)0()1(rr当空气容量V从1L增加到2L,气球半径增加了),dm(16.0)1()2(rr气球的平均膨胀率为),dm/L(16.012)1()2(rr随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()rVrVVV平均变化率定义:若设Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)则平均变化率为121)()fxxx2f(xfx121)()fxxx2f(x这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121)()fxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率归纳概括归纳概括1平均变化率的定义:2121()()fxfxxx一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx=x△x2-x1xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))0f(x2)-f(x1)=y△2121()()fxfxyxxx2平均变化率的几何意义：曲线上两点连线的斜率.()yfx11(,())xfx、22(,())xfx问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2ttth如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:v在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,);m/s(05.405.0)0()5.0(hhv);m/s(2.812)1()2(hhv计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:49650t探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。定义:平均变化率:式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.1212)()(xxxfxf令△x=x2–x1,△f=f(x2)–f(x1),则xfxxxfxf)()(1212理解：1，式子中△x、△f的值可正、可负，但的△x值不能为0，△f的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，△f=03,变式xxfxxfxxxfxf)()()()(111212思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121)()fxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率练习:1.甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?2.已知函数f(x)=2x+1,g(x)=–2x,分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率.(1)[–3,–1];(2)[0,5].做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A3B3Δx-(Δx)2C3-(Δx)2D3-ΔxD2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+Δx小结：1.函数的平均变化率fx121)()fxxx2f(x2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率fx121)()fxxx2f(x1.1.2导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+t)s△这段时间内平均速度tthththv9.41.13)2()2(△t<0时,在[2+t,2]△这段时间内△t>0时,在[2,2+t]△这段时间内1.139.4tv1.139.4tv051.13v当△t=–0.01时,149.13v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,09951.13v当△t=–0.0001时,10049.13v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,0999951.13v△t=–0.000001,1000049.13v△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的...