扇贝抽样案例——统计方法的误区ArnoldBennett是美国MIT斯隆商学院的一名教授，在杂志Interfaces（1995年3月）中描述了最近他作为统计学“专家”提供相关服务的一个法律案例。这个案例涉及一艘远离新英格兰海岸捕捞扇贝的渔船。为了保护幼扇贝免遭捕捞，美国渔业和野生动物保护机构规定“每个扇贝肉的重量至少1/36磅才可以捕捞”。这艘船被指控违反了这个重量标准。Bennett教授在文章中描述：这艘船抵达马萨诸塞州的一个港口时装有11000袋扇贝，港务人员随机抽选了其中的18袋来检查。港务人员从每一个袋中随机取出一满勺扇贝，然后算出每个扇贝肉的平均重量。港务人员根据18袋的结果估计这艘船的每个扇贝肉的平均重量为1/39磅，低于标准，于是立即没收了捕获的95%，后来进行了拍卖。船主不服，对联邦政府提起诉讼，认为自己的捕捞符合标准，认为只选了18袋，不足以代表全体。律师问Bennett教授的问题之一就是：“能够从一个容量18的样本中得到所有扇贝的平均重量的可靠估计吗？”于是Bennett教授进行了分析：Bennett教授把被抽样的18袋的每袋的平均重量按照1/36磅为1的情况作了比较，0.93就是比1/36磅轻，1.14就代表比1/36磅重，数量低于1的表明是不符合标准的。请看下面的数据，只有两袋超过了1/36磅，其他都没有到“1”，都不符合标准。0.930.880.850.910.910.840.900.980.880.890.980.870.910.920.991.141.060.93那么正如律师所问，从11000袋中只抽出18袋作为样本合不合理呢？结论是不合理：仅用18袋作样本太小了，至少应该在30以上，才能作为推断的基本证据，否则误差很大。当然抽样中也并不是越大越好，只要样本的抽样方法是科学的，适当的样本便是好的。现在我把数据还原：0.02580.02440.02360.02530.02530.02330.02500.02720.02440.02470.02720.02420.02530.02560.02750.03170.02940.0258经过我的计算，样本均值为0.0259，样本方差0.0000043777，总体均值在95%置信度下的置信区间为【0.0258791537，0.0258801055】，这个置信区间的长度非常短，原因就是因为样本方差过小；即便是我们把置信度提高为99.9%，置信区间为【0.0258788307，0.0258804286】，其长度依然非常短。然而，置信区间的长度短，正表明了精确性。注意我要说的“误区”，不在于Bennett教授指出的样本量过小从而抽样结论不可靠的误区（袁卫老师也这样认为），上面计算的数据表明，实际上精确度是非常之高的，精确度高理所当然是可靠的！我要提出我的一个疑问，如果没错的话，那么就是大多数研究抽样问题的人的一个误区——总认为样本量小是导致误差大的主要原因；我认为我们的理解走错了方向。本案例的精度从何而来？答曰来自于置信区间，而置信区间又直接来自于样本均值的方差，所以我们从样本均值的方差公式来看这个问题，一切自然明了：显然，样本均值的方差不仅受样本量n影响，而且受总体方差影响（样本方差是它的无偏估计），当样本方差非常小的时候，n对于估计精度能起多大作用呢？例如本例，样本方差极其小，此时n根本不起多大作用；或者，若n大了，样本方差有可能更大，于是可能导致精确度反而降低。由此看来，样本方差对于精度的影响同样是非常大的！我上面这段话其实也是看似有理，没有说到本质问题上。为什么样本量小就会导致代表性不够、精度低呢？按常理想想，确实是这个道理，但是（我要说的误区所在）我们的解释往往停留在样本均值的方差公式前面的那个系数(1-f)/n上，如果n小，那么这个系数就会大，导致方差大，这个解释是不太合理的（虽然有一定道理），上面已经作出了初步说明，下面我说说我认为是本质的看法：其实，可能多数人都忽略了一种习以为常的替代——用无偏估计值替代真值。影响样本代表性以及精度的真正原因应该在这个替代上！E(s2)=S2注意，无偏估计并不一定等于真值的！而通常由于无偏估计的良好统计学性质，我们就把它当作真值使用了；用样本量n很小的样本求出来的s2与n很大的样本求出来的s2，哪个对S2更具有代表性？若n太小，当然感觉心里不踏实。试想，若抽出所有的样本点，那么样本方差就直接等于总体方差了；若抽取少数一两个样本点，代表性当然差，误差当然大！真正的代...
