全等三角形典型例题：例1：（2014威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．练习1：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。例2：△DAC,△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD；(2)CM=CN；(3)△CMN为等边三角形；（4）MN∥BC。AFBCEDEDACBEEEDACBNM例3：已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过A任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，观察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系．⑴如图1，当l经过BC中点时，DE=，此时BDCE⑵如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为，并证明你的结论．⑶如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为．证明你的结论，并画图直接写出交点靠近C点时，BD，CE，DE三者的数量关系为．图1图2图3AlBCABCDElABClEDOyABCxOyABCDEx例4：已知:在平面直角坐标系中，放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4，0）.⑴求C点的坐标；⑵D为△ABC内一点（AD>2），连AD，并以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE，连CD、BE.试判断线段CD、BE的位置及数量关系，并给出你的证明；OyABCDEMx⑶旋转△ADE，使D点刚好落在x轴的负半轴，连CE交y轴于M.求证：①EM=CM；②BD=2AM.练习2：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CFCBAFE练习3：如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？例5：如图1，已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°，问BD=AB+ED吗?[变形1]：如图2，如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。BDECA图1BDECA图2[变形2]：（2014泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，求证：DE=BF[变形3]：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。[变形4]：在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图4的位置时，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？EDACB图31EDACB图4FABDCE（2）当直线MN绕点C旋转到图5的位置时，DE=AD-BE。说说你的理由。（3）当直线MN绕点C旋转到图6的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。等腰三角形、等边三角形的全等问题：[必备知识]：如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；反之，也成立。例6：已知在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，请问BD=CE吗？2ACBED1图13图6EDCBANM图6EDCBANMEDCBANM图512BCAED[变形1]：如图13，已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，请说明△ABD≌△ACE.吗？为什么？[变形2]：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。DCBAE图1521图13_A_C_B_E_D[变形3]：如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD，CE，请说明它们相等DCBAE图18DCBAEDCBAEDCBAEDCBAE图16DCBAE图17[变形4]：（2014怀化）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：；例四：如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB.求证：AN平分∠BAC.[变形]：在Rt△ABC中，已知∠A=90°，DE⊥BC于E点，如果AD=DE，BD=CD，求∠C的度数ABGDFECDEBACBCNMA
