BCAEGDF图11http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2737247（2009益阳）如图11，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°又 ADBC⊥∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°又 AE＝AD，AF＝AD∴AE＝AF∴四边形AEGF是正方形(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x BD＝2，DC＝3∴BE＝2，CF＝3∴BG＝x－2，CG＝x－3在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2(∴x－2)2＋(x－3)2＝52化简得，x2－5x－6＝0解得x1＝6，x2＝－1（舍）所以AD＝x＝6AFCDEGHBOAFCDEGHBOAFCDEGHBO（2010南充）如图，△ABC内接于⊙O，ADBC⊥，OEBC⊥，OE＝BC．（1）求∠BAC的度数．（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．（1）解：连结OB和OC． OE⊥BC，∴BE＝CE． OE＝BC，∴∠BOC＝90°，∴∠BAC＝45°．（2）证明： AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．∴四边形AFHG是正方形．（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．设AD的长为x，则BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴（x－6）2＋（x－4）2＝102．解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．∴AD＝12．（2013•呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为（0，12）或（0，﹣12）．考圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．3718684点：分析：如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个．解答：解：设线段BA的中点为E， 点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）．（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EPBA⊥，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，BCA ∠为⊙P的圆周角，BCA=∴∠BPA=45°∠，即则点C即为所求．过点P作PFy⊥轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，在RtPFC△中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7，OC=OF+CF=5+7=12∴，∴点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．（2008北京）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；（3）连结，求与两角和的度数．解：（1）（2）24．解：（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，．设直线的解析式为．在直线上，．解得．直线的解析式为．·································································抛物线过点，解得抛物线的解析式为．·····························································（2）由．可得．，，，．可得是等腰直角三角形．，．如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，．过点作于点．．可得，．在与中，，，．，．解得．点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或．·····························...
