第1讲集合的概念和运算互异性∈∉描述法空集基础梳理2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则AB(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则.⊆2n－1A＝Bx∈U，且x∉AA⊆B∅一个性质要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．两种方法韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．三个防范(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．双基自测1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于()．A．{x|3≤x＜4}B．{x|x≥3}C．{x|x＞2}D．{x|x≥2}解析B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴结合数轴得：A∪B＝{x|x≥2}．答案D5．(人教A版教材习题改编)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.解析A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}，∴2∈{1,3，m}，∴m＝2.答案2考向一集合的概念【例1】►已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[审题视点]分m＋2＝3和2m2＋m＝3两种情况讨论．解析因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不合乎题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－32或m＝1(舍去)，此时当m＝－32时，m＋2＝12≠3合乎题意．所以m＝－32.答案－32集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验所求结果是否正确．【训练1】设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．解析若a＋2＝3，a＝1，检验此时A＝{－1,1,3}，B＝{3,5}，A∩B＝{3}，满足题意．若a2＋2＝3，则a＝±1.当a＝－1时，B＝{1,3}此时A∩B＝{1,3}不合题意，故a＝1.答案1解析不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等价于x≥4，x＋3＋x－4≤9或－30，则当m2≤m2，即m≥12时，集合A表示一个环形区域，集合B表示一个带形区域，从而当直线x＋y＝2m＋1与x＋y＝2m中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即符合题意，从而有|2－2m|2≤|m|或|2－2m－1|2≤|m|，解得2－22≤m≤2＋2，由于12>2－22，所以12≤m≤2＋2.综上所述，m的取值范围是12≤m≤2＋2.答案12，2＋2难点突破1——集合问题的命题及求解策略一、集合与排列组合【示例】►(2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是()．A．57B．56C．49D．8二、集合与不等式的解题策略【示例】►(2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于()．A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3]单击此处进入活页限时训练
