平面向量基本定理及坐标表示VIP免费

4．2平面向量基本定理及坐标表示考点梳理1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝___________.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________.不共线λ1e1＋λ2e2基底2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴_______的两个单位_______i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝___________，则有序数对(x、y)叫做向量a的坐标，记作___________，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其_______相同，_______相同的向量是相等向量．平行向量xi＋yja＝(x，y)坐标坐标3．平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝○10__________________，|AB→|＝⑪______________________.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝⑫__________________，a－b＝⑬______________，λa＝⑭__________，a∥b(b≠0)的充要条件是⑮__________________.(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x1y2－x2y1＝0(3)非零向量a＝(x，y)的单位向量为____________或__________________.(4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔________________.±a|a|±1x2＋y2(x，y)x1＝x2且y1＝y2考点自测1.已知向量OA→＝(1，－2)，OB→＝(－3,4)，则12AB→等于()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3)D．(－2，－3)解析：依题意得AB→＝OB→－OA→＝(－4,6)，12AB→＝12(－4,6)＝(－2,3)，选A.答案：A2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2解析：依题意得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)， a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(x＋1)，由此解得x＝2，选D.答案：D3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2解析：可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.答案：B4．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→＝()A．(－6,21)B．(－2,7)C．(6，－21)D．(2，－7)解析：如图，QC→＝AQ→＝PQ→－PA→＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC→＝PQ→＋QC→＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，BC→＝3PC→＝(－6,21)．答案：A5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝__________.解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.答案：－1疑点清源1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．当平面向量OA→平行移动到O1A1→时，向量不变即O1A1→＝OA→＝(x，y)，但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.题型探究题型一平面向量基本定理例1.如图所示，在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a、b为基底表示OM→.解析：设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM→＝OM→－OA→＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12b－a＝－a＋12b.因为A，M，D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1.而CM→＝OM→－OC→＝(m－14)a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b，因为C，M，B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.由m＋2n＝1，4m＋n＝1，解得m＝17，n＝37.所以OM→＝17a＋37b.点评：本题先用平面向量基本定理设出OM→＝ma＋nb，然后利用共线向量的条件列出方程组，确定m，n的值．变式探究1如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.解析：设AB→＝a，AD...