网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考知识网络本讲归纳整合网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考1．平面直角坐标系中的伸缩变换要点归纳设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λx（λ>0）y′＝μy（μ>0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考2．极坐标系(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0），顺便指出，上式对ρ<0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．(2)极坐标与直角坐标的互化网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考(3)圆的极坐标方程①圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.②圆心在极轴上的点(a，0)处，且圆过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ.③圆心在点a，π2处且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ，0≤θ≤π.网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考专题一伸缩变换解设这个伸缩变换F为：x′＝ax，y′＝by，代入x′29＋y′216＝1得a2x29＋b2y216＝1，这与x2＋y2＝1表示同一曲线，∴有a29＝1，b216＝1，∴a＝3，b＝4(负值舍去)．因此这个变换为x′＝3x，y′＝4y.【例1】设曲线x2＋y2＝1经过伸缩变换F之后，变成椭圆x′29＋y′216＝1，求这个伸缩变换F.网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考(2007·海南·宁夏高考)设⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．【例2】专题二极坐标与直角坐标的互化网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考(2)法一由x2＋y2－4x＝0x2＋y2＋4y＝0解得x1＝0y1＝0，x2＝2y2＝－2，即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.法二由x2＋y2－4x＝0x2＋y2＋4y＝0两式相减得－4x－4y＝0.即过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考【例3】(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考解在ρsinθ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P2，π4，所以圆C的半径PC＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考(2010·江苏高考)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．【例4】专题三曲线的极坐标方程的求解与应用解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为：x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为：3x＋4y＋a＝0，由题设知，圆心(1，0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，解得：a＝2或a＝－8.网络构建网络构建专题归纳专题归纳解读高考解读高考1．从近两年新课标高考试题可以看出，高考对该部分重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题，但各省市的要求不尽相同．2．复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主．命题趋势
