第5课时同角三角函数的基本关系(1)对应学生用书P9知识点一平方关系的应用1．若sinα＝，且α是第二象限角，则cosα等于()A．－B．C．±D．±答案A解析由α是第二象限角，得cosα＝－＝－＝－．2．已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为()A．cosθB．±cosθC．－cosθD．以上都不对答案C解析tanθ＝，由条件可知，cosθ＜0，得＝＝|cosθ|＝－cosθ，故选C．3．若sinα＝，cosα＝，则的值为________．答案解析∵sinα＝，cosα＝，sin2a＋cos2α＝1，∴2＋2＝1，解得k＝－7或k＝1．当k＝1时，sinα＝－1，cosα＝0，tanα无意义，故舍去；当k＝－7时，sinα＝，cosα＝，故＝．4．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为________．答案1解析∵sinα＋cosα＝1，∴(sinα＋cosα)2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sinαcosα＝0，∴sinα＝0或cosα＝0，当sinα＝0时cosα＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；当cosα＝0时sinα＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，∴sinnα＋cosnα＝1．知识点二商式关系的应用5．已知sinα＝，cosα＝，则tanα等于()A．B．C．D．答案D解析∵tanα＝＝＝，∴选D．6．已知＝2，则sinθcosθ的值是()A．B．±C．D．－答案C解析由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，∴sinθcosθ＝＝＝＝．知识点三求值问题7．已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．解∵tanα＝－2，∴α是第二、四象限角，又tanα＝－2，得sinα＝－2cosα．①当α为第二象限角时，⇒5cos2α＝1，∵cosα<0，∴cosα＝－，sinα＝－2×＝．②当α为第四象限角时，⇒5cos2α＝1，∵cosα>0，∴cosα＝，sinα＝－2×＝－．综合①②知：当α为第二象限角时，cosα＝－，sinα＝，当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－．8．已知sinα＝，求cosα，tanα的值．解∵sinα＝>0，∴α是第一象限角或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝＝＝，∴tanα＝＝．当α为第二象限角时，cosα＝－＝－＝－，∴tanα＝－．9．若cosα＝－，且tanα>0，求的值．解∵cosα＝－，tanα>0，∴α在第三象限．∴sinα＝－＝－．＝＝＝sinα(1＋sinα)＝－×1－＝－．对应学生用书P10一、选择题1．已知sinαcosα＝(0<α<π)，则sinα＋cosα＝()A．B．－C．D．－答案A解析∵sinαcosα＝>0且0<α<π，∴0<α<，∴sinα>0，cosα>0，又(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝，∴sinα＋cosα＝．2．若cosα＋2sinα＝，则tanα＝()A．B．2C．－D．－2答案B解析解法一：由解得所以tanα＝＝2．解法二：∵cosα＋2sinα＝，∴(cosα＋2sinα)2＝5，则＝5，即＝5，∴＝5，解得tanα＝2．解法三：设tanα＝＝t，则sinα＝tcosα，代入题设cosα＋2sinα＝，得sinα＝，cosα＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以t＝2．解法四：(秒杀解)注意到本题中的勾股数为(1，2，)，因此可以用，代入条件式验证，注意到＋2×＝，因此有所以tanα＝＝2．3．已知tanα＝，且α∈，则sinα的值是()A．－B．C．D．－答案A解析∵α∈，∴sinα<0．由tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－．4．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，则lgsinA的值为()A．m＋B．m－nC．m＋D．(m－n)答案D解析∵m－n＝lg(1＋cosA)＋lg(1－cosA)＝lg(1－cos2A)＝lgsin2A＝2lgsinA，∴lgsinA＝(m－n)．5．若α为第二象限角，则＋的值为()A．3B．－3C．1D．－1答案D解析因为α为第二象限角，所以sinα>0，cosα＜0．因此＋＝＋＝＋＝－2＋1＝－1，故选D．二、填空题6．已知cos＝，0<α<，则sin＝________．答案解析∵0<α<，∴<α＋<，∴sin＝＝．7．若tanα＋＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋＝________．答案7解析∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sinαcosα＝．tan2α＋＝2－2tanα·＝9－2＝7．8．已知α∈，，且＝4，则＝________．答案解析∵1＋2sinαcosα＝(sinα＋cosα)2，1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2，∴＝|sinα＋cosα|，＝|sinα－cosα|．又∵α∈，，∴sinα＋cosα＞0，sinα－cosα＞0．由题意，得＝4，sinα＝2cosα．∴＝＝．三、解答题9．已知＝－1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2．解因为＝－1，所以tanα＝．(1)原式＝＝－．(2)原式＝＝＝＝．10．证明：(1)－＝sinα＋cosα；(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．证明(1)左边＝－＝－＝－＝－＝＝sinα＋cosα＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α∴左边＝右边，∴原式成立．
