1.3三角函数的诱导公式课后集训基础达标1.已知cos（π+α）=且α是第四象限角，则sin（-2π+α）等于（）A.B.C.±D.解析：cos(π+α)=-cosα=.则sin（-2π+α）=sinα=-.答案：B2.sin()的值等于（）A.B.-C.D.-解析：sin（）=-sin=-sin(2π+)=-sin=-sin(π+)=sin=12.答案：A3.若角α的终边与角β的终边关于直线y=x对称则α+β等于()A.2kπ,k∈ZB.2kπ+π,k∈ZC.2kπD.+2kπ,k∈Z答案：D4.化简的结果是（）A.sin2-cos2B.±（sin2-cos2）C.cos2-sin2D.sin2+cos2解析：原式==sin2-cos2，故选A.答案：A5.当k∈Z时，在①sin(kπ+);②sin(2kπ±);③sin［kπ+(-1)k］;④cos［2kπ+(-1)k·］中，与sin相等的是（）A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③解析：（1）当k=2n时，sin(kπ+)=sin(2nπ+)=sin.当k=2n+1时，sin（kπ+）=sin［(2n+1)π+］=sin(2nπ+π+)=sin(π+)=-sin.(2)sin(2kπ±)=sin(±)=±sin.(3)当k=2n时，sin［kπ+(-1)k·］=sin［2nπ+(-1)2n·］=sin.当k=2n+1时，sin［kπ+(-1)k·］=sin［2nπ+π-］=sin.(4)cos［2kπ+(-1)k·］=cos［(-1)k·］.当k=2n时，原式=cos=sin.当k=2n+1时，原式=cos［（-1）2n+1·］=cos=sin.故选B.答案：B6.已知函数f(x)=cos,则下列等式成立的是（）A.f(2π-x)=f(x)B.f(2π+x)=f(x)C.f(-x)=-f(x)D.f(-x)=f(x)解析：A.f(2π-x)=cos=cos(π-)=-cos≠f(x).B.f(2π+x)=cos()=cos(π+)=-cos≠f(x).C.f(-x)=cos-=cos=f(x)≠-f(x).故应选D.答案：D综合运用7.已知三角形中的两个内角α、β满足sin2α=sin2β,那么这个三角形的形状（）A.只可能是等腰三角形，不可能是直角三角形B.只可能是直角三角形，不可能是等腰三角形C.只可能是等腰直角三角形D.既可能是等腰三角形，也可能是直角三角形解析：∵sin2α=sin2β2α=2β或2α=π-2β,∴α=β或α+β=.∴应选D.答案：D8.f(cosx)=cos2x,则f(sin15°)等于（）A.B.C.D.解析：∵f(sin15°)=f(cos75°)=cos150°=.答案：A9.sin(-α)+cos(α+)可化简为（）A.2sin（-α)B.-2cos(+α)C.0D.2sin(α-)解析：∵-α+α+=,∴cos(α+)=sin(-α).∴应选A.答案：A拓展探究10.已知f(n)=sinn,n∈Z.求f(1)+f(2)+…+f(2005).解析：如果将n=1,n=2,…,n=2005,分别代入计算，显然比较复杂.注意到f(n)的值周期性地重复出现，将会使计算大大简化.本题主要考查利用诱导公式求值.解：∵sin=sin(2π+)=sin,k=1,2,3,…，8，∴f(k)=f(k+8),则f(1)=f(9),f(2)=f(10),…,f(8)=f(16),…于是f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16)=…∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=sin+sin+sin+sinπ+sin+sin+sin+sin2π=0.∵2005=250×8+5,∴f(1)+f(2)+…+f(2005)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=sin+sin+sin+sinπ+sin=1+.备选习题11.已知cos(π-α)=,则sin(+α)=__________.解析：∵cos(π-α)=,∴cosα=.∴sin(+α)=sin［π+(+α)］=-sin(+α)=-cosα=.答案：12.tan2010°的值为_________________.解析：tan2010°=tan(6×360°-150°)=-tan150°=-tan(180°-30°)=tan30°=.答案：13.化简（1）,(2)设k∈Z,解：(1)原式==.(2)k为偶数时，设k=2n.∴原式==k为奇数时，设k=2n+1.∴原式==故原式=-1.14.已知=3+,求cos2(π-α)+sin(π+α)·cos(π-α)+2sin2(α-π)的值.解：∵=3+,∴tanα=.∴cos2(π-α)+sin(π+α)cos(π-α)+2sin2(α-π)=cos2α+sinαcosα+2sin2α=cos2α(1+tanα+2tan2α)=或：cos2(π-α)+sin(π+α)cos(π-α)+2sin2(α-π)=cos2α+sinαcosα+2sin2α==.15.设α是第二象限角且cos=，则是__________象限角.解析：由题中等式，知cos≤0为第二、三象限角或终边落在x左半轴.又α为第二象限角为第一、三象限角，综上，为第三象限角.答案：第三16.已知sin（3π-α）=sinβ,cos(-α)=-cos(π+β),0＜α＜π,0＜β＜π,求α、β的值.解：由已知得sinα=sinβ①cosα=cosβ②①2+②2得sin2α+3cos2α=2（sin2β+cos2β）=2,即sin2α+3（1-sin2α）=2，所以sin2α，得sinα=±.因为0＜α＜π,所以sinα=，故α=或α=.将α=和α-分别代入②，得cosβ=或cosβ=-,因为0＜β＜π,所以β=或β=.故α=、β=或α=、β=.
