第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)课后篇巩固探究1.函数y=|sinx|的一个单调递增区间是()A.B.C.D.解析画出y=|sinx|的图象即可求解.故选C.答案C2.已知函数y=2cosx的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是()A.2B.3C.+2D.2解析根据函数y=2cosx的定义域为,故它的值域为[-2,1],可得b-a=1-(-2)=3.答案B3.已知函数y=3sin的图象是轴对称图形,则它的一条对称轴可以是()A.y轴B.直线x=-C.直线x=D.直线x=解析A:当x=0时,2x+,不合题意;B:当x=-时,2x+=0,不合题意;C:当x=时,2x+,正确;D:当x=时,2x+,不合题意,故选C.答案C4.函数y=2sin的单调递增区间是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析y=2sin=-2sin,函数y=sin的单调递减区间为y=2sin的单调递增区间,即2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z)⇒kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).答案B5.同时具有性质:①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在上是增函数.这样的一个函数可以为()A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos解析周期是π的只有B,C,y=cos=cos=-sin,当x∈时,2x-,因此C是增函数,B是减函数,故选C.答案C6.若0<α<β<,a=sin,b=sin,则()A.abC.ab<1D.ab>解析∵0<α<β<,∴<α+<β+.而正弦函数y=sinx在x∈上是增函数,∴sin0时,当a<0时,所以ab=2或-2.答案2或-210.若函数y=cosωx(ω>0)在区间[0,1]上出现了50次最小值,则ω的取值范围是.解析设函数的周期为T,由题意知又T=,则解得99π≤ω<101π.答案[99π,101π)11.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为.解析∵,∴y=2sin-cos=2cos-cos=cos.∴ymin=-1.答案-112.求函数y=sin2x+acosx+a-0≤x≤的最大值g(a).解y=1-cos2x+acosx+a-=-cosx-2+a-,∵0≤x≤,∴0≤cosx≤1,∴当0≤≤1,即0≤a≤2时,cosx=时,函数取得最大值,ymax=;当>1,即a>2时,cosx=1时,函数取得最大值,ymax=;当<0,即a<0时,cosx=0时,函数取得最大值,ymax=.综上所述,g(a)=13.导学号68254039已知函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a),a∈R.(1)求g(a);(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.解(1)y=f(x)=1-2a-2acosx-2(1-cos2x),令t=cosx,则y=2t2-2at-2a-1,t∈[-1,1],当<-1,即a<-2时,ymin=f(-1)=1;当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,ymin=f=--2a-1.当>1,即a>2时,ymin=f(1)=-4a+1.故g(a)=(2)由g(a)=,得a=-1,此时f(x)=2cos2x+2cosx+1,当cosx=1时,f(x)max=5,此时x=2kπ,k∈Z.14.导学号68254040已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.(1)求ω的值;(2)求y=f(x)的单调递增区间;(3)若x∈,求y=f(x)的值域.解(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.又|φ|<,所以φ=.所以函数的解析式是y=sin.令2x+,k∈Z,解得x∈,k∈Z.所以函数的单调递增区间为,k∈Z.(3)因为x∈,所以2x+.所以sin,即函数的值域为.
